Calcule as seguintes integrais indefinidas:
e. integral sen(2 theta) cos ^2(3 theta) d theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui estamos trabalhando com integração envolvendo funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos utilizar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cos^2(x) = 1 + cos(2x)2 usando a identidade trigonométrica que transforma o cosseno ao quadrado:
cos^2(3 theta) = 1 + cos(6 theta)2
Aplicando isso na nossa integral:

Passo 3

Substituímos integral sen(2 theta) cdot 1 + cos(6 theta)2 d theta = 12 integral sen(2 theta) d theta + 12 integral sen(2 theta) cos(6 theta) d theta na integral original:

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral simples:

Passo 5

Agora, vamos tratar da segunda integral . Para isso, usamos a identidade trigonométrica da multiplicação de seno e cosseno:
Aplicando onde sen(A) cos(B) = sen(A + B) + sen(A - B)2 e sen(2 theta) cos(6 theta) = sen(8 theta) + sen(-4 theta)2 = sen(8 theta) - sen(4 theta)2 :

Passo 6

Substituímos de volta na integral:
Integrando cada termo:
12 integral sen(8 theta) - sen(4 theta)2 d theta = 14 integral sen(8 theta) d theta - 14 integral sen(4 theta) d theta

Passo 7

Finalmente, reunimos todas as partes da integral:
-cos(2 theta)4 - cos(8 theta)32 + cos(4 theta)16 + C

Resposta

A integral é igual a:
-cos(2 theta)4 - cos(8 theta)32 + cos(4 theta)16 + C

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