Calcule: integral[x^2+2 x-12 x^3+3 x^2-2 x] d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com um cálculo de integral que envolve uma fração algébrica. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre frações parciais e simplificação de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador 2x^3 + 3x^2 - 2x = x(2x^2 + 3x - 2). Podemos fatorar esse polinômio colocando em evidência:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático 2x^2 + 3x - 2 = 2x^2 + 4x - x - 2 = (2x^2 + 4x) - (x + 2) = 2x(x + 2) -1(x + 2) = (2x -1)(x + 2). Procuramos dois números que multiplicados dão 2x^3 +3x^2 -2x = x(2x -1)(x + 2) e somados dão . Esses números são e :
Então, o denominador completo fica:

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral com o denominador fatorado:
integral x^2 + 2x -1x(2x -1)(x + 2) dx
Para simplificar essa fração, vamos tentar decompô-la em frações parciais, assumindo que podemos escrever:
x^2 + 2x -1x(2x -1)(x + 2) = Ax + B2x -1 + Cx + 2

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por x^2 + 2x -1 = A(2x -1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x -1) para eliminar os denominadores:
A(2x -1)(x + 2) = A(2x^2 + 4x -x -2) = A(2x^2 +3x -2)
Expandindo cada termo:
Bx(x + 2) = Bx^2 + 2Bx
Cx(2x -1) = 2Cx^2 - Cx
x^2 + 2x -1 = A(2x^2 +3x -2) + Bx^2 + 2Bx + 2Cx^2 - Cx
Então, juntando tudo:

Passo 6

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
2A + B + 2C = 1 (coeficiente de x^2) 3A + 2B - C = 2 (coeficiente de x) -2A = -1 (termo constante)
Resolvendo a terceira equação:
-2A = -1 Rightarrow A = 12

Passo 7

Substituímos 3(12) + 2B - C = 2 na segunda equação:
32 + 2B - C = 2
2B - C = 12
2(12) + B + 2C = 1
Também substituímos 1 + B + 2C = 1 na primeira equação:
B + 2C = 0

Passo 8

Temos agora o sistema:
2B - C = 12 B + 2C = 0
Resolvemos a segunda equação para B = -2C:
2(-2C) - C = 12
Substituímos na primeira equação:
-4C - C = 12
-5C = 12
C = -110
Então,

Passo 9

Agora que temos x^2 + 2x -1x(2x -1)(x + 2) = 12x + 152x -1 + -110x + 2, 12x + 15(2x -1) - 110(x + 2) e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:

Passo 10

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral ( 12x + 15(2x -1) - 110(x + 2) ) dx = 12 integral 1x dx + 15 integral 12x -1 dx - 110 integral 1x + 2 dx
As integrais são conhecidas:
12 ln|x| + 15 cdot 12 ln|2x -1| - 110 ln|x + 2| + C

Resposta

12 ln|x| + 110 ln|2x -1| - 110 ln|x + 2| + C

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