Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com um cálculo de integral que envolve uma fração algébrica. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre frações parciais e simplificação de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Podemos fatorar esse polinômio colocando em evidência:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e :
Então, o denominador completo fica:

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral com o denominador fatorado:
Para simplificar essa fração, vamos tentar decompô-la em frações parciais, assumindo que podemos escrever:

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo cada termo:
Então, juntando tudo:

Passo 6

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Resolvendo a terceira equação:

Passo 7

Substituímos na segunda equação:
Também substituímos na primeira equação:

Passo 8

Temos agora o sistema:
Resolvemos a segunda equação para :
Substituímos na primeira equação:
Então,

Passo 9

Agora que temos , e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:

Passo 10

Agora, integramos cada termo separadamente:
As integrais são conhecidas:

Resposta

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Derive: