Calcule as interseções entre o plano
e a superfície quadrática
. Descreva a cônica formada.**
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular onde o plano
corta a superfície quadrática
. Basicamente, queremos achar os pontos que estão nos dois lugares ao mesmo tempo: no plano e na esfera. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e álgebra. Precisaremos substituir uma das equações na outra para encontrar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar uma das variáveis do plano em função das outras, para facilitar a substituição na equação da esfera. Vamos resolver a equação do plano para
:
Passo 3
Agora que temos
em termos de
e
, vamos substituir essa expressão na equação da esfera
:
Passo 4
Vamos expandir o termo
:
Passo 5
Substituindo de volta na equação da esfera:
Passo 6
Vamos simplificar juntando termos semelhantes:
Passo 7
Subtraímos 49 de ambos os lados para igualar a zero:
Passo 8
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 1 (aqui não muda nada, mas deixa a equação mais limpa):
Passo 9
Observamos que a equação resultante é do segundo grau em
e
com termo cruzado
, o que indica que a interseção é uma cônica rotacionada. Para identificar que tipo de cônica é, podemos calcular o discriminante
da equação geral da cônica
:
Passo 10
Como
e os coeficientes de
e
são do mesmo sinal, a cônica é uma elipse.
Resposta
A interseção entre o plano
e a esfera
forma uma elipse.