Calcule as interseções entre o plano 2 x-3 y+z=5 e a superfície quadrática x^2+y^2+z^2=49. Descreva a cônica formada.**

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular onde o plano corta a superfície quadrática . Basicamente, queremos achar os pontos que estão nos dois lugares ao mesmo tempo: no plano e na esfera. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e álgebra. Precisaremos substituir uma das equações na outra para encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar uma das variáveis do plano em função das outras, para facilitar a substituição na equação da esfera. Vamos resolver a equação do plano para z = 5 - 2x + 3y :

Passo 3

Agora que temos x^2 + y^2 + (5 - 2x + 3y)^2 = 49 em termos de e , vamos substituir essa expressão na equação da esfera :

Passo 4

Vamos expandir o termo (5 - 2x + 3y)^2 = 25 - 20x + 30y + 4x^2 - 12xy + 9y^2 :

Passo 5

Substituindo de volta na equação da esfera:
x^2 + y^2 + 25 - 20x + 30y + 4x^2 - 12xy + 9y^2 = 49

Passo 6

Vamos simplificar juntando termos semelhantes:
(x^2 + 4x^2) + (y^2 + 9y^2) - 20x + 30y - 12xy + 25 = 49
5x^2 + 10y^2 - 20x + 30y - 12xy + 25 = 49

Passo 7

Subtraímos 49 de ambos os lados para igualar a zero:
5x^2 + 10y^2 - 20x + 30y - 12xy + 25 - 49 = 0
5x^2 + 10y^2 - 20x + 30y - 12xy - 24 = 0

Passo 8

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 1 (aqui não muda nada, mas deixa a equação mais limpa):
5x^2 + 10y^2 - 20x + 30y - 12xy - 24 = 0

Passo 9

Observamos que a equação resultante é do segundo grau em De e De com termo cruzado De, o que indica que a interseção é uma cônica rotacionada. Para identificar que tipo de cônica é, podemos calcular o discriminante De da equação geral da cônica :

Passo 10

Como e os coeficientes de e são do mesmo sinal, a cônica é uma elipse.

Resposta

A interseção entre o plano e a esfera forma uma elipse.

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