Encontre a equação da superfície quadrática que passa pelos pontos
, e
, e verifique se é uma superfície de revolução.**
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar a equação de uma superfície quadrática que passa pelos pontos
,
e
. Além disso, tem que verificar se essa superfície é uma superfície de revolução. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadráticas e suas equações gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma superfície quadrática é:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
que fazem essa equação passar pelos três pontos dados.
Passo 3
Vamos substituir cada ponto na equação geral para obter um sistema de equações. Começando com o ponto
:
Simplificando:
Essa é a nossa primeira equação.
Passo 4
Agora, substituímos o ponto
na equação geral:
Simplificando:
Essa é a segunda equação.
Passo 5
Por último, substituímos o ponto
:
Simplificando:
Essa é a terceira equação.
Passo 6
Agora temos um sistema de três equações:
Como temos mais incógnitas do que equações, precisamos assumir valores para alguns coeficientes para simplificar. Vamos assumir que
. Isso simplifica a equação geral para:
Passo 7
Substituindo essas suposições nas equações:
Passo 8
Da terceira equação, temos
. Substituindo na primeira equação:
Então,
.
Agora, da segunda equação:
Passo 9
Vamos escolher
(um valor qualquer para simplificar). Então:
E
.
Passo 10
Agora, nossa equação simplificada fica:
Ou seja:
Podemos multiplicar por -1 para deixar positivo:
Passo 11
Dividindo ambos os lados por 4 para simplificar:
Essa é a equação final da superfície quadrática que passa pelos pontos dados.
Passo 12
Agora, vamos verificar se essa superfície é uma superfície de revolução. Superfícies de revolução são aquelas geradas pela rotação de uma curva ao redor de um eixo. No nosso caso, a equação
é uma elipse no plano
. Como a equação não envolve a variável
, isso indica que a superfície é independente de
, formando um cilindro elíptico, que não é uma superfície de revolução. Superfícies de revolução teriam uma simetria em torno de um eixo, como a esfera ou o cilindro circular, mas no nosso caso, a superfície não possui essa simetria.
Resposta
A equação da superfície quadrática é:
E ela não é uma superfície de revolução.