Encontre a equação da superfície quadrática que passa pelos pontos (1,0,1),(-1,2,0), e (0,0,-1), e verifique se é uma superfície de revolução.**

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar a equação de uma superfície quadrática que passa pelos pontos (1,0,1), (-1,2,0) e (0,0,-1). Além disso, tem que verificar se essa superfície é uma superfície de revolução. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadráticas e suas equações gerais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma superfície quadrática é:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dxz + E yz + Fz^2 + Gx + Hy + Iz + J = 0
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes que fazem essa equação passar pelos três pontos dados.

Passo 3

Vamos substituir cada ponto na equação geral para obter um sistema de equações. Começando com o ponto (1,0,1):
A(1)^2 + B(1)(0) + C(0)^2 + D(1)(1) + E(0)(1) + F(1)^2 + G(1) + H(0) + I(1) + J = 0
Simplificando:
A + D + F + G + I + J = 0
Essa é a nossa primeira equação.

Passo 4

Agora, substituímos o ponto (-1,2,0) na equação geral:
A(-1)^2 + B(-1)(2) + C(2)^2 + D(-1)(0) + E(2)(0) + F(0)^2 + G(-1) + H(2) + I(0) + J = 0
Simplificando:
A - 2B + 4C - G + 2H + J = 0
Essa é a segunda equação.

Passo 5

Por último, substituímos o ponto (0,0,-1):
A(0)^2 + B(0)(0) + C(0)^2 + D(0)(-1) + E(0)(-1) + F(-1)^2 + G(0) + H(0) + I(-1) + J = 0
Simplificando:
F - I + J = 0
Essa é a terceira equação.

Passo 6

Agora temos um sistema de três equações:
  1. Ax^2 + Cy^2 + Fz^2 + J = 0
Como temos mais incógnitas do que equações, precisamos assumir valores para alguns coeficientes para simplificar. Vamos assumir que . Isso simplifica a equação geral para:

Passo 7

Substituindo essas suposições nas equações:

Passo 8

Da terceira equação, temos A - J + J = A = 0 . Substituindo na primeira equação:
0 + 4C + J = 0 Rightarrow 4C = -J Rightarrow C = -J4
Então, .
Agora, da segunda equação:

Passo 9

Vamos escolher C = -44 = -1 (um valor qualquer para simplificar). Então:
E .

Passo 10

Agora, nossa equação simplificada fica:
0 cdot x^2 - y^2 - 4z^2 + 4 = 0
Ou seja:
-y^2 - 4z^2 + 4 = 0
Podemos multiplicar por -1 para deixar positivo:
y^2 + 4z^2 = 4

Passo 11

Dividindo ambos os lados por 4 para simplificar:
y^24 + z^21 = 1
Essa é a equação final da superfície quadrática que passa pelos pontos dados.

Passo 12

Agora, vamos verificar se essa superfície é uma superfície de revolução. Superfícies de revolução são aquelas geradas pela rotação de uma curva ao redor de um eixo. No nosso caso, a equação é uma elipse no plano . Como a equação não envolve a variável , isso indica que a superfície é independente de , formando um cilindro elíptico, que não é uma superfície de revolução. Superfícies de revolução teriam uma simetria em torno de um eixo, como a esfera ou o cilindro circular, mas no nosso caso, a superfície não possui essa simetria.

Resposta

A equação da superfície quadrática é:
y^24 + z^2 = 1
E ela não é uma superfície de revolução.

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