Considere as matrizes:
A & =[ll -1 & 2 -4 & 1 ] & D & =[lll 2 & -2 & 4 0 & -1 & 3 4 & -2 & 0 ] B & =[ccc -2 & 0 & -5 3 & -3 & -1 0 & 3 & -4 ] & F & =[cccc 1 & -2 & 3 & 1 5 & -9 & 6 & 3 -1 & 2 & -6 & -2 2 & 8 & 6 & 1 ]
Calcule os determinantes:
Por uma das colunas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro matrizes diferentes: A, D, B e F. A tarefa é calcular o determinante de cada uma delas usando a técnica de expansão por uma das colunas. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular determinantes de matrizes 2x2, 3x3 e 4x4, além de entender como funciona a expansão por co-fatores. Vamos lá!

Passo 2

Matriz A:
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A, que é uma matriz 2x2:
A = -1 & 2 -4 & 1
Para uma matriz 2x2, o determinante é bem simples de calcular:
det(A) = (-1)(1) - (2)(-4) = -1 + 8 = 7

Passo 3

Matriz D:
Agora, vamos para a matriz D, que é uma matriz 3x3:
D = 2 & -2 & 4 0 & -1 & 3 4 & -2 & 0
Vamos calcular o determinante usando a expansão pela primeira coluna, já que ela tem um zero, o que facilita os cálculos.
A fórmula geral para o determinante de uma matriz 3x3 é:
det(D) = a11 cdot det(M11) - a21 cdot det(M21) + a31 cdot det(M31)
Onde -1 & 3 -2 & 0 é a matriz resultante ao eliminar a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Aplicando isso:
  1. -2 & 4 -2 & 0
  2. -2 & 4 -1 & 3
  3. det(D) = 2 cdot 6 - 0 cdot 8 + 4 cdot (-2) = 12 + 0 - 8 = 4
Agora, substituindo na fórmula:

Passo 4

Matriz B:
Seguimos para a matriz B, também uma 3x3:
B = -2 & 0 & -5 3 & -3 & -1 0 & 3 & -4
Vamos calcular o determinante pela primeira coluna, que tem um zero:
det(B) = a11 cdot det(M11) - a21 cdot det(M21) + a31 cdot det(M31)
Calculando os menores:
  1. -3 & -1 3 & -4
  2. 0 & -5 3 & -4
  3. 0 & -5 -3 & -1
Substituindo:
det(B) = (-2) cdot 15 - 3 cdot 15 + 0 cdot (-15) = -30 -45 + 0 = -75

Passo 5

Matriz F:
Por fim, vamos calcular o determinante da matriz F, que é uma matriz 4x4:
F = 1 & -2 & 3 & 1 5 & -9 & 6 & 3 -1 & 2 & -6 & -2 2 & 8 & 6 & 1
Para matrizes 4x4, a gente usa a expansão por co-fatores. Vamos escolher a primeira coluna para facilitar.
A fórmula geral é:
det(F) = a11 cdot C11 - a21 cdot C21 + a31 cdot C31 - a41 cdot C41
Onde -9 & 6 & 3 2 & -6 & -2 8 & 6 & 1 são os cofatores, calculados como -2 & 3 & 1 2 & -6 & -2 8 & 6 & 1 .
Vamos calcular cada cofator:
  1. Cofator -2 & 3 & 1 -9 & 6 & 3 8 & 6 & 1 :
    • Menor -2 & 3 & 1 -9 & 6 & 3 2 & -6 & -2 : det(F) = 1 cdot 18 - 5 cdot 6 + (-1) cdot 21 - 2 cdot 6 = 18 -30 -21 -12 = -45
    • Calculando
    • Então,
  2. Cofator :
    • Menor :
    • Calculando
    • Então,
  3. Cofator :
    • Menor :
    • Calculando
    • Então,
  4. Cofator :
    • Menor :
    • Calculando
    • Então,
Agora, substituindo tudo na fórmula do determinante:

Resposta

Os determinantes das matrizes são:

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