Calcule o produto misto u cdot(v times w) dos vetores
u=i+2 j+3 k, v=2 i+3 j-k e w=-2 j+k

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o produto misto de três vetores. O produto misto envolve o produto vetorial ( ) e o produto escalar com o vetor . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as operações de produto vetorial e produto escalar entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial v times w = i & j & k vx & vy & vz wx & wy & wz . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial de e é:

Passo 3

Aplicando essa fórmula aos vetores v times w = i & j & k 2 & 3 & -1 0 & -2 & 1 e , temos:

Passo 4

Calculando o determinante:
v times w = i cdot (3 cdot 1 - (-1) cdot (-2)) - j cdot (2 cdot 1 - (-1) cdot 0) + k cdot (2 cdot (-2) - 3 cdot 0)
v times w = i cdot (3 - 2) - j cdot (2 - 0) + k cdot (-4 - 0)
v times w = i cdot 1 - j cdot 2 + k cdot (-4)
v times w = i - 2j - 4k

Passo 5

Agora que temos u cdot (v times w) = (1)(1) + (2)(-2) + (3)(-4) , vamos calcular o produto escalar com o vetor . O produto escalar de é dado por:

Passo 6

Realizando as multiplicações:
u cdot (v times w) = 1 + (-4) + (-12)
u cdot (v times w) = 1 - 4 - 12
u cdot (v times w) = -15

Resposta

O produto misto é igual a .

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