Calcule a inversa das funções e e determine suas derivadas.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar as funções inversas de e , além de calcular suas derivadas. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função inversa e como derivar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inversa de . A função inversa troca os papéis de e . Então, começamos substituindo por :
Agora, trocamos e :
Para isolar , multiplicamos ambos os lados por :
Agora, dividimos ambos os lados por :
Então, a função inversa de é:
Legal, descobrimos que a inversa de é ela mesma!

Passo 3

Agora, vamos para a função . Vamos achar a inversa seguindo os mesmos passos:
Começamos substituindo por :
Trocamos e :
Agora, vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Distribuímos o :
Queremos isolar , então juntamos os termos com de um lado:
Fatoramos o :
Finalmente, dividimos ambos os lados por :
Então, a função inversa de é:
Surpreendentemente, a inversa de também é ela mesma!

Passo 4

Agora que temos as funções inversas, vamos calcular suas derivadas. Vamos começar com .
A derivada de é:
Então,

Passo 5

Em seguida, vamos derivar . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se temos , a derivada é .
Aqui, e . Vamos encontrar e :
Agora, aplicamos a regra:
Então,

Resposta

A função inversa de é com derivada . A função inversa de é com derivada .

Exercícios relacionados

Sabendo que , prove que .
Esboce os gráficos das funções abaixo.
Calcule os seguintes limites (usando as regras de L
Calcule os seguintes limites (usando as regras de L