Calcule a inversa das funções
e
e determine suas derivadas.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar as funções inversas de
e
, além de calcular suas derivadas. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função inversa e como derivar funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a inversa de
. A função inversa troca os papéis de
e
. Então, começamos substituindo
por
:
Agora, trocamos
e
:
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Então, a função inversa de
é:
Legal, descobrimos que a inversa de
é ela mesma!
Passo 3
Agora, vamos para a função
. Vamos achar a inversa seguindo os mesmos passos:
Começamos substituindo
por
:
Trocamos
e
:
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Distribuímos o
:
Queremos isolar
, então juntamos os termos com
de um lado:
Fatoramos o
:
Finalmente, dividimos ambos os lados por
:
Então, a função inversa de
é:
Surpreendentemente, a inversa de
também é ela mesma!
Passo 4
Agora que temos as funções inversas, vamos calcular suas derivadas. Vamos começar com
.
A derivada de
é:
Então,
Passo 5
Em seguida, vamos derivar
. Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se temos
, a derivada é
.
Aqui,
e
. Vamos encontrar
e
:
Agora, aplicamos a regra:
Então,
Resposta
A função inversa de
é
com derivada
. A função inversa de
é
com derivada
.
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Sabendo que
, prove que
.
Esboce os gráficos das funções abaixo.
Calcule os seguintes limites (usando as regras de L
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