Calcule os seguintes limites (usando as regras de L lim x 0^+(cos 3 x) 1sen x

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício envolve o conhecimento de limites e, especificamente, a Regra de L’Hôpital, que ajuda quando encontramos formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir cos(3 cdot 0) = cos(0) = 1 diretamente na expressão para ver o que acontece:
sen(0) = 0
Então, temos , que parece indicar que o limite tende ao infinito. Mas vamos analisar melhor para ter certeza.

Passo 3

Como está se aproximando de 0 pela direita ( ), o valor de está se aproximando de 0 por valores positivos. Portanto, está crescendo sem limites positivamente.

Passo 4

Mesmo que estejamos lidando com uma forma que parece não ser indeterminada, podemos reforçar nosso entendimento usando a Regra de L’Hôpital. Para isso, reescrevemos o limite de forma que se encaixe na regra:
Calculando as derivadas:
Então, o limite fica:

Passo 5

Agora, substituímos -3sen(0) = 0 nessa nova expressão:
cos(0) = 1
Então, o limite se torna . Mas isso conflita com nossa análise inicial. Isso aconteceu porque, na verdade, a aplicação da Regra de L’Hôpital não é necessária aqui, já que a forma já nos indica que o limite tende a .

Resposta

O limite é .

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