Calcule os seguintes limites (usando as regras de L
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício é de cálculo de limites, mais especificamente lidamos com funções que envolvem potências e logaritmos. Para resolver isso, vamos usar propriedades de logaritmos e exponenciais para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando a propriedade que diz que
. Então, podemos reescrever
como:
Agora, o limite que queremos calcular fica:
Passo 3
Para encontrar esse limite, precisamos primeiro calcular:
Vamos simplificar essa fração. Sabemos que
. Então:
Passo 4
Agora, analisamos o termo
quando
tende a infinito. Para grandes valores de
,
é muito pequeno, então podemos usar a aproximação
quando
é próximo de 0. Assim:
Portanto:
E quando
vai para infinito,
tende a 0.
Passo 5
Voltando à expressão anterior:
Então, o limite fica:
Resposta
O limite é igual a
.
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e
e determine suas derivadas.
Sabendo que
, prove que
.
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