Calcule os seguintes limites (usando as regras de L lim x +infty(x+1)^1ln x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício é de cálculo de limites, mais especificamente lidamos com funções que envolvem potências e logaritmos. Para resolver isso, vamos usar propriedades de logaritmos e exponenciais para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando a propriedade que diz que e^1ln x cdot ln(x+1) . Então, podemos reescrever limx +infty e^ln(x+1)ln x como:
Agora, o limite que queremos calcular fica:

Passo 3

Para encontrar esse limite, precisamos primeiro calcular:
limx +infty ln(x+1)ln x
Vamos simplificar essa fração. Sabemos que ln(x+1)ln x = ln x + ln(1 + 1x)ln x = 1 + ln(1 + 1x)ln x . Então:

Passo 4

Agora, analisamos o termo ln(1 + 1x) approx 1x quando ln(1 + 1x)ln x approx 1xln x = 1x ln x tende a infinito. Para grandes valores de , é muito pequeno, então podemos usar a aproximação quando é próximo de 0. Assim:
Portanto:
E quando vai para infinito, tende a 0.

Passo 5

Voltando à expressão anterior:
ln(x+1)ln x = 1 + ln(1 + 1x)ln x approx 1 + 0 = 1
Então, o limite fica:
limx +infty e^ln(x+1)ln x = e^1 = e

Resposta

O limite é igual a .

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