Sabendo que , prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que e nos pede para provar que a derivada de em relação a é igual a . Aqui, estamos lidando com conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções logarítmicas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender a relação entre funções exponenciais e logaritmos, além de como aplicar a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é uma identidade básica das funções exponenciais e logarítmicas. Isso significa que essas funções são inversas uma da outra. Agora, para encontrar a derivada de , vamos considerar que .

Passo 3

Sabemos que se , então podemos escrever a função inversa usando a exponencial: . Agora, queremos encontrar , que é a derivada de .

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Aplicando a derivada, temos:

Passo 5

Usando a regra da cadeia no lado esquerdo, a derivada de em relação a é . Do lado direito, a derivada de em relação a é 1. Então:

Passo 6

Agora, queremos isolar . Sabemos que , então podemos substituir na equação:

Passo 7

Finalmente, dividimos ambos os lados por para encontrar :

Resposta

Portanto, a derivada de em relação a é .

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