Sabendo que
, prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que
e nos pede para provar que a derivada de
em relação a
é igual a
. Aqui, estamos lidando com conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções logarítmicas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender a relação entre funções exponenciais e logaritmos, além de como aplicar a regra da cadeia para derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é uma identidade básica das funções exponenciais e logarítmicas. Isso significa que essas funções são inversas uma da outra. Agora, para encontrar a derivada de
, vamos considerar que
.
Passo 3
Sabemos que se
, então podemos escrever a função inversa usando a exponencial:
. Agora, queremos encontrar
, que é a derivada de
.
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
. Aplicando a derivada, temos:
Passo 5
Usando a regra da cadeia no lado esquerdo, a derivada de
em relação a
é
. Do lado direito, a derivada de
em relação a
é 1. Então:
Passo 6
Agora, queremos isolar
. Sabemos que
, então podemos substituir na equação:
Passo 7
Finalmente, dividimos ambos os lados por
para encontrar
:
Resposta
Portanto, a derivada de
em relação a
é
.
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e
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