Esboce os gráficos das funções abaixo.
Passo 1
Vamos esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de funções polinomiais e radicais, especialmente aquelas que envolvem raízes cúbicas. Precisamos analisar o comportamento da função, como seu domínio, interceptações, simetrias e tendências, para conseguir desenhar seu gráfico de forma correta.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso de raízes cúbicas, podemos calcular a raiz de qualquer número real, positivo ou negativo. Portanto, o domínio de
é todos os números reais:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interceptações com os eixos.
- Interceptação com o eixo y: ocorre quando
.
Então, temos o ponto (0, 0).
- Interceptações com o eixo x: ocorre quando
.
Fatorando:
Portanto, os pontos de interseção são (-1, 0), (0, 0) e (1, 0).
Passo 4
Vamos analisar a simetria da função. Uma função é simétrica em relação ao eixo y se
e em relação à origem se
.
Calculando
:
Isso mostra que a função é ímpar, ou seja, possui simetria em relação à origem.
Passo 5
Vamos estudar o comportamento da função para valores grandes de
:
- Para
muito positivo:
Portanto, a função tende a crescer linearmente com inclinação 1.
- Para
muito negativo:
Novamente, a função tende a seguir a reta
.
Passo 6
Vamos verificar a derivada para entender onde a função está crescendo ou decrescendo. Calculando
:
Usando a regra da cadeia:
Analisando o sinal de
:
- Quando
, a função está crescente. - Quando
, a função está decrescente.
Resposta
Com todas essas informações, o gráfico de
passa pelos pontos (-1, 0), (0, 0) e (1, 0), é simétrico em relação à origem, tende à reta
para valores extremos de
, está decrescendo entre
e
, e crescente fora desse intervalo. O gráfico tem a forma de uma curva em S, atravessando os pontos mencionados e seguindo as tendências determinadas.
Exercícios relacionados
Esboce os gráficos das funções abaixo.
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.
Sabendo que
, prove que
.
Calcule a inversa das funções
e
e determine suas derivadas.