Esboce os gráficos das funções abaixo.

Passo 1

Vamos esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos trabalhar com conceitos de funções polinomiais e radicais, especialmente aquelas que envolvem raízes cúbicas. Precisamos analisar o comportamento da função, como seu domínio, interceptações, simetrias e tendências, para conseguir desenhar seu gráfico de forma correta.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de raízes cúbicas, podemos calcular a raiz de qualquer número real, positivo ou negativo. Portanto, o domínio de é todos os números reais:
í

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interceptações com os eixos.
  • Interceptação com o eixo y: ocorre quando .
Então, temos o ponto (0, 0).
  • Interceptações com o eixo x: ocorre quando .
Fatorando:
Portanto, os pontos de interseção são (-1, 0), (0, 0) e (1, 0).

Passo 4

Vamos analisar a simetria da função. Uma função é simétrica em relação ao eixo y se e em relação à origem se .
Calculando :
Isso mostra que a função é ímpar, ou seja, possui simetria em relação à origem.

Passo 5

Vamos estudar o comportamento da função para valores grandes de :
  • Para muito positivo:
Portanto, a função tende a crescer linearmente com inclinação 1.
  • Para muito negativo:
Novamente, a função tende a seguir a reta .

Passo 6

Vamos verificar a derivada para entender onde a função está crescendo ou decrescendo. Calculando :
Usando a regra da cadeia:
Analisando o sinal de :
  • Quando , a função está crescente.
  • Quando , a função está decrescente.

Resposta

Com todas essas informações, o gráfico de passa pelos pontos (-1, 0), (0, 0) e (1, 0), é simétrico em relação à origem, tende à reta para valores extremos de , está decrescendo entre e , e crescente fora desse intervalo. O gráfico tem a forma de uma curva em S, atravessando os pontos mencionados e seguindo as tendências determinadas.

Exercícios relacionados

Esboce os gráficos das funções abaixo.
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.
Sabendo que , prove que .
Calcule a inversa das funções e e determine suas derivadas.