Obtenha a medida angular em radianos entre a reta e o plano .
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a medida angular em radianos entre a reta e o plano . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores diretores de retas e vetores normais de planos, além de usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que representam a reta e o plano. A reta é dada por:
Aqui, o vetor diretor da reta é .
O plano é dado pela equação:
O vetor normal ao plano é , que são os coeficientes de , e na equação do plano.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano . A fórmula para o cosseno do ângulo entre dois vetores é:
Onde é o produto escalar dos vetores, e e são as normas (comprimentos) dos vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar :
Passo 5
Em seguida, calculamos as normas dos vetores e :
Passo 6
Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
Passo 7
Para encontrar o ângulo , tiramos o arco cosseno:
Passo 8
No entanto, o que queremos é o ângulo entre a reta e o plano, que é o complemento de . Então:
Usando calculadora ou tabelas, podemos calcular e, consequentemente, .