Obtenha a medida angular em radianos entre a reta r e o plano pi.
(d) r: X=(1,0,0)+lambda(1,1,-2) pi: x+y-z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a medida angular em radianos entre a reta e o plano . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores diretores de retas e vetores normais de planos, além de usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que representam a reta e o plano. A reta r: X = (1, 0, 0) + lambda (1, 1, -2) é dada por:
pi: x + y - z = 1
Aqui, o vetor diretor da reta é .
O plano é dado pela equação:
O vetor normal ao plano é , que são os coeficientes de , e na equação do plano.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o ângulo entre o vetor diretor da reta cos phi = d cdot n|d| , |n| e o vetor normal ao plano . A fórmula para o cosseno do ângulo entre dois vetores é:
Onde é o produto escalar dos vetores, e e são as normas (comprimentos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar d cdot n = (1)(1) + (1)(1) + (-2)(-1) = 1 + 1 + 2 = 4 :

Passo 5

Em seguida, calculamos as normas dos vetores |d| = raiz1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6 e |n| = raiz1^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 :

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
cos phi = 4raiz6 times raiz3 = 4raiz18 = 43raiz2 = 4raiz26 = 2raiz23

Passo 7

Para encontrar o ângulo phi = arccos(2raiz23) , tiramos o arco cosseno:

Passo 8

No entanto, o que queremos é o ângulo entre a reta e o plano, que é o complemento de theta = pi2 - phi . Então:
Usando calculadora ou tabelas, podemos calcular e, consequentemente, .

Resposta

A medida angular entre a reta theta = pi2 - arccos(2raiz23) radianos e o plano é:

Exercícios relacionados

Sabendo que |u|=raiz2,|v|=raiz3 e que u e v formam ângulo de 3 pi4, determinar:
(a) |lang<=(2 u-v),(u-2 v)rang<=|;
(b) |u-2 v|.

Determinantes

1
Calcule o determinante genérico da matriz A=(ccca11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33). Utilize a soma Dn=sumi j k ldots epsiloni j k ldots a1 i a2 j a3 k ldots, no qual, epsiloni j k ldots é o símbolo de Levi-Civita que para permutações pares vale 1, para permutações impares vale -1 e para permutações nulas vale 0.
alpha: 4 x+3=0
Calcule a inversa da matriz A=[ccc1 & 3 & 1 1 & 2 & 0 -2 & 0 & 3].