Obtenha a medida angular em radianos entre a reta
e o plano
.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a medida angular em radianos entre a reta
e o plano
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores diretores de retas e vetores normais de planos, além de usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que representam a reta e o plano. A reta
é dada por:
Aqui, o vetor diretor da reta
é
.
O plano
é dado pela equação:
O vetor normal ao plano
é
, que são os coeficientes de
,
e
na equação do plano.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o ângulo entre o vetor diretor da reta
e o vetor normal ao plano
. A fórmula para o cosseno do ângulo
entre dois vetores é:
Onde
é o produto escalar dos vetores, e
e
são as normas (comprimentos) dos vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 5
Em seguida, calculamos as normas dos vetores
e
:
Passo 6
Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
Passo 7
Para encontrar o ângulo
, tiramos o arco cosseno:
Passo 8
No entanto, o que queremos é o ângulo entre a reta e o plano, que é o complemento de
. Então:
Usando calculadora ou tabelas, podemos calcular
e, consequentemente,
.
Resposta
A medida angular entre a reta
e o plano
é: