Calcule a inversa da transformada de laplace da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a inversa da transformada de Laplace da função . Esse problema está dentro do estudo das transformadas de Laplace, que são ferramentas muito úteis para resolver equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar manipular frações e aplicar a técnica de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração . Para facilitar a inversa da transformada de Laplace, é bom fatorar esse polinômio. Vamos procurar dois números que, quando multiplicados, dão e, quando somados, dão .

Passo 3

Encontramos que os números são 5 e -1, pois e . Então, podemos fatorar o denominador assim:

Passo 4

Agora, vamos expressar como uma soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Vamos resolver para e .

Passo 5

Para achar e , podemos escolher valores de que simplificam a equação.
  • Se :
  • Se :
Então, as frações parciais ficam:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Finalmente, juntando os dois resultados, temos a inversa da transformada de Laplace de :

Resposta

A inversa da transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados

Calcule a transformada de Laplace das funções dadas expressando seu domínio:
Verifique, resolvendo a integral e calculando o limite necessário, a convergência ou divergência das seguintes Integrais Impróprias. .
Dada as seqüências abaixo: dada por: . Mostre que: é convergente e calcule o seu limite.
Calcule a derivada da seguinte função: