Calcule a inversa da transformada de laplace da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a inversa da transformada de Laplace da função
. Esse problema está dentro do estudo das transformadas de Laplace, que são ferramentas muito úteis para resolver equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar manipular frações e aplicar a técnica de frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da fração
. Para facilitar a inversa da transformada de Laplace, é bom fatorar esse polinômio. Vamos procurar dois números que, quando multiplicados, dão
e, quando somados, dão
.
Passo 3
Encontramos que os números são 5 e -1, pois
e
. Então, podemos fatorar o denominador assim:
Passo 4
Agora, vamos expressar
como uma soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Vamos resolver para
e
.
Passo 5
Para achar
e
, podemos escolher valores de
que simplificam a equação.
- Se
:
- Se
:
Então, as frações parciais ficam:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Finalmente, juntando os dois resultados, temos a inversa da transformada de Laplace de
:
Resposta
A inversa da transformada de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
Calcule a transformada de Laplace das funções dadas expressando seu domínio:
Verifique, resolvendo a integral e calculando o limite necessário, a convergência ou divergência das seguintes Integrais Impróprias.
.
Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é convergente e calcule o seu limite.
Calcule a derivada da seguinte função: