Calcule a transformada de Laplace das funções dadas expressando seu domínio:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil em matemática aplicada, especialmente em engenharia e física. O objetivo é calcular a transformada de Laplace da função
. Para isso, vamos precisar entender a definição da Transformada de Laplace e como aplicá-la a funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo
em uma função de uma variável complexa
. A definição matemática é:
Isso significa que para encontrar a transformada de
, precisamos substituir
na integral.
Passo 3
Substituindo
na definição da Transformada de Laplace, temos:
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral.
Passo 4
Podemos combinar os expoentes da base
porque
. Assim, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, precisamos que o expoente
seja negativo, ou seja, que
. Isso garante que a função exponencial decaia ao infinito, permitindo que a integral converja.
Passo 6
Integrando
, obtemos:
Passo 7
Avaliar os limites da integral:
- Quando
e , . - Quando
, .
Então,
Resposta
A Transformada de Laplace de
é: