Calcule a transformada de Laplace das funções dadas expressando seu domínio:
f(t) = e^(a t)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil em matemática aplicada, especialmente em engenharia e física. O objetivo é calcular a transformada de Laplace da função . Para isso, vamos precisar entender a definição da Transformada de Laplace e como aplicá-la a funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo em uma função de uma variável complexa . A definição matemática é:
Isso significa que para encontrar a transformada de , precisamos substituir na integral.

Passo 3

Substituindo na definição da Transformada de Laplace, temos:
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 4

Podemos combinar os expoentes da base porque . Assim, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, precisamos que o expoente seja negativo, ou seja, que . Isso garante que a função exponencial decaia ao infinito, permitindo que a integral converja.

Passo 6

Integrando , obtemos:

Passo 7

Avaliar os limites da integral:
  • Quando e , .
  • Quando , .
Então,

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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