Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é convergente e calcule o seu limite.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida de forma recursiva, onde o primeiro termo é
e cada termo seguinte é dado por
, sendo
. O objetivo é mostrar que essa sequência converge, ou seja, que ela se aproxima de um valor fixo à medida que
aumenta, e descobrir qual é esse valor.
Passo 2
Para mostrar que a sequência converge, podemos usar o conceito de sequência monótona e limitada. Uma sequência é monótona se seus termos são sempre crescentes ou sempre decrescentes. Além disso, ela deve ser limitada, ou seja, não crescer indefinidamente. Se uma sequência é monótona e limitada, então ela converge para algum limite.
Passo 3
Vamos verificar se a sequência
é monótona. Observando a definição
, e sabendo que
e
, percebemos que cada termo depende do anterior multiplicado por
e depois da raiz quadrada. Vamos calcular alguns termos para ver o comportamento:
Percebemos que os expoentes estão aumentando e se aproximando de 1, indicando que a sequência está crescente.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a sequência está limitada. Sabemos que
e que cada termo é uma potência de
com expoentes que se aproximam de 1. Como estamos tirando raízes quadradas de produtos envolvendo
, que é uma constante maior que 1, os termos não vão crescer indefinidamente. Portanto, a sequência está limitada acima.
Passo 5
Como a sequência
é crescente e está limitada acima, podemos concluir que ela converge. Agora, vamos encontrar o limite
da sequência.
Assumindo que
, então tomando o limite na definição recursiva:
Passo 6
Para resolver
, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Em seguida, trazemos todos os termos para um lado da equação:
Fatorando
:
Isso nos dá duas soluções possíveis:
ou
.
Passo 7
Analisando as soluções, sabemos que
e todos os termos da sequência são positivos e crescentes. Portanto, a solução
não faz sentido nesse contexto. Assim, o limite da sequência é
.
Resposta
A sequência
é convergente e o seu limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule a inversa da transformada de laplace da função
.
Calcule a transformada de Laplace das funções dadas expressando seu domínio:
Calcule a derivada da seguinte função:
Use Transformada de Laplace e resolva os problemas de valor inicial