Dada as seqüências abaixo: dada por: . Mostre que: é convergente e calcule o seu limite.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida de forma recursiva, onde o primeiro termo é e cada termo seguinte é dado por , sendo . O objetivo é mostrar que essa sequência converge, ou seja, que ela se aproxima de um valor fixo à medida que aumenta, e descobrir qual é esse valor.

Passo 2

Para mostrar que a sequência converge, podemos usar o conceito de sequência monótona e limitada. Uma sequência é monótona se seus termos são sempre crescentes ou sempre decrescentes. Além disso, ela deve ser limitada, ou seja, não crescer indefinidamente. Se uma sequência é monótona e limitada, então ela converge para algum limite.

Passo 3

Vamos verificar se a sequência é monótona. Observando a definição , e sabendo que e , percebemos que cada termo depende do anterior multiplicado por e depois da raiz quadrada. Vamos calcular alguns termos para ver o comportamento:
Percebemos que os expoentes estão aumentando e se aproximando de 1, indicando que a sequência está crescente.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a sequência está limitada. Sabemos que e que cada termo é uma potência de com expoentes que se aproximam de 1. Como estamos tirando raízes quadradas de produtos envolvendo , que é uma constante maior que 1, os termos não vão crescer indefinidamente. Portanto, a sequência está limitada acima.

Passo 5

Como a sequência é crescente e está limitada acima, podemos concluir que ela converge. Agora, vamos encontrar o limite da sequência.
Assumindo que , então tomando o limite na definição recursiva:

Passo 6

Para resolver , vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Em seguida, trazemos todos os termos para um lado da equação:
Fatorando :
Isso nos dá duas soluções possíveis: ou .

Passo 7

Analisando as soluções, sabemos que e todos os termos da sequência são positivos e crescentes. Portanto, a solução não faz sentido nesse contexto. Assim, o limite da sequência é .

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é .

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