Verifique, resolvendo a integral e calculando o limite necessário, a convergência ou divergência das seguintes Integrais Impróprias. integrala^b 1a^2-x^2 d x, b>a>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a integral imprópria , onde . Isso envolve conceitos de cálculo integral, mais especificamente sobre integrais impróprias e como verificar se elas convergem (têm valor finito) ou divergem (têm valor infinito).

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. Olhe para o denominador limalpha to a^+ integralalpha^b 1a^2-x^2 , dx . Ele se anula quando , ou seja, a função fica indefinida nesse ponto. Como nossa integral começa em , precisamos ter cuidado, pois estamos integrando até um ponto onde a função não está definida. Para resolver isso, usamos um limite:
Aqui, se aproxima de por valores maiores que , garantindo que estamos sempre em um intervalo onde a função está definida.

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral integral 1a^2-x^2 , dx = 12a ln|a+xa-x| + C . Podemos simplificar a expressão usando frações parciais ou reconhecer que é uma integral padrão. Sabemos que:
Onde é a constante de integração. Essa fórmula nos ajuda a encontrar a antiderivada da função dada.

Passo 4

Vamos agora aplicar os limites de integração e o limite que definimos:
limalpha to a^+ [ 12a ln|a+ba-b| - 12a ln|a+alphaa-alpha| ]
Concentrando-nos no segundo termo, quando se aproxima de por valores maiores, se aproxima de 0, fazendo com que tenda para , que é infinito. Multiplicando por , ainda teremos algo que tende ao infinito.

Passo 5

Como o limite tende ao infinito, isso significa que a integral não se aproxima de um valor finito. Em outras palavras, a integral é divergente.

Resposta

A integral diverge, ou seja, não possui um valor finito.

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