Verifique, resolvendo a integral e calculando o limite necessário, a convergência ou divergência das seguintes Integrais Impróprias. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a integral imprópria , onde . Isso envolve conceitos de cálculo integral, mais especificamente sobre integrais impróprias e como verificar se elas convergem (têm valor finito) ou divergem (têm valor infinito).
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. Olhe para o denominador . Ele se anula quando , ou seja, a função fica indefinida nesse ponto. Como nossa integral começa em , precisamos ter cuidado, pois estamos integrando até um ponto onde a função não está definida. Para resolver isso, usamos um limite:
Aqui, se aproxima de por valores maiores que , garantindo que estamos sempre em um intervalo onde a função está definida.
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral . Podemos simplificar a expressão usando frações parciais ou reconhecer que é uma integral padrão. Sabemos que:
Onde é a constante de integração. Essa fórmula nos ajuda a encontrar a antiderivada da função dada.
Passo 4
Vamos agora aplicar os limites de integração e o limite que definimos:
Concentrando-nos no segundo termo, quando se aproxima de por valores maiores, se aproxima de 0, fazendo com que tenda para , que é infinito. Multiplicando por , ainda teremos algo que tende ao infinito.
Passo 5
Como o limite tende ao infinito, isso significa que a integral não se aproxima de um valor finito. Em outras palavras, a integral é divergente.
Resposta
A integral diverge, ou seja, não possui um valor finito.