Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial:
com a condição inicial
. A matéria que vamos usar para resolver isso é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Vamos precisar aplicar as propriedades da transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Laplace de uma função
é
. Então, aplicando a transformada, temos:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a transformada de Laplace da derivada
é
. Substituindo isso na equação, fica:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 4
A transformada de Laplace de
é
. No nosso caso,
, então:
Substituindo de volta na equação:
Passo 5
Vamos agrupar os termos que contêm
:
Agora, isolamos
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Passo 7
Agora, para encontrar
, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Vamos decompor
:
Sabemos que:
Aplicando isso:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Calcule a inversa da Transformada de Laplace
, sendo:
Calcule a Transformada de Laplace
, sendo:
Se
converge e
diverge, pode-se dizer algo sobre sua soma termo a termo
? Justifique sua resposta.