Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial: com a condição inicial . A matéria que vamos usar para resolver isso é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Vamos precisar aplicar as propriedades da transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Laplace de uma função é . Então, aplicando a transformada, temos:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a transformada de Laplace da derivada é . Substituindo isso na equação, fica:
Sabemos que , então substituindo:

Passo 4

A transformada de Laplace de é . No nosso caso, , então:
Substituindo de volta na equação:

Passo 5

Vamos agrupar os termos que contêm :
Agora, isolamos :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:

Passo 7

Agora, para encontrar , precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Vamos decompor :
Sabemos que:
Aplicando isso:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Calcule a inversa da Transformada de Laplace , sendo:
Calcule a Transformada de Laplace , sendo:
Se converge e diverge, pode-se dizer algo sobre sua soma termo a termo ? Justifique sua resposta.