Se converge e diverge, pode-se dizer algo sobre sua soma termo a termo ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas séries:
  • que converge, ou seja, sua soma chega a um número finito.
  • que diverge, ou seja, sua soma não converge para nenhum número, vai para o infinito.
A pergunta é: o que acontece com a soma termo a termo dessas duas séries, ou seja, com ? Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de séries.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma série converge se a soma dos seus termos tende a um limite finito quando o número de termos aumenta indefinidamente. Por outro lado, uma série diverge se não tem esse limite finito.
Quando somamos duas séries termo a termo, a convergência da nova série depende do comportamento de cada uma das séries originais.

Passo 3

Agora, observamos que temos uma série que converge ( ) e outra que diverge ( ). Quando somamos uma série que converge com uma que diverge, a série resultante tende a seguir o comportamento da que diverge.
Isso porque a parte que diverge domina o comportamento da soma. Mesmo que uma série esteja “limpando” ou “acrescentando” algo à outra, se uma delas não tem um limite finito, a soma também não terá.

Resposta

A soma termo a termo diverge, já que a série que está sendo somada diverge.

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Calcule a inversa da Transformada de Laplace , sendo:
Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy: