Se
converge e
diverge, pode-se dizer algo sobre sua soma termo a termo
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas séries:
-
que converge, ou seja, sua soma chega a um número finito. -
que diverge, ou seja, sua soma não converge para nenhum número, vai para o infinito.
A pergunta é: o que acontece com a soma termo a termo dessas duas séries, ou seja, com
? Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de séries.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma série converge se a soma dos seus termos tende a um limite finito quando o número de termos aumenta indefinidamente. Por outro lado, uma série diverge se não tem esse limite finito.
Quando somamos duas séries termo a termo, a convergência da nova série depende do comportamento de cada uma das séries originais.
Passo 3
Agora, observamos que temos uma série que converge (
) e outra que diverge (
). Quando somamos uma série que converge com uma que diverge, a série resultante tende a seguir o comportamento da que diverge.
Isso porque a parte que diverge domina o comportamento da soma. Mesmo que uma série esteja “limpando” ou “acrescentando” algo à outra, se uma delas não tem um limite finito, a soma também não terá.
Resposta
A soma termo a termo
diverge, já que a série
que está sendo somada diverge.
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, sendo:
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