Se Sigma an converge e Sigma bn diverge, pode-se dizer algo sobre sua soma termo a termo sum(an+bn) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas séries:
  • Sigma an que converge, ou seja, sua soma chega a um número finito.
  • Sigma bn que diverge, ou seja, sua soma não converge para nenhum número, vai para o infinito.
A pergunta é: o que acontece com a soma termo a termo dessas duas séries, ou seja, com Sigma(an+bn)? Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de séries.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma série converge se a soma dos seus termos tende a um limite finito quando o número de termos aumenta indefinidamente. Por outro lado, uma série diverge se não tem esse limite finito.
Quando somamos duas séries termo a termo, a convergência da nova série depende do comportamento de cada uma das séries originais.

Passo 3

Agora, observamos que temos uma série que converge ( Sigma an) e outra que diverge ( Sigma bn). Quando somamos uma série que converge com uma que diverge, a série resultante tende a seguir o comportamento da que diverge.
Isso porque a parte que diverge domina o comportamento da soma. Mesmo que uma série esteja “limpando” ou “acrescentando” algo à outra, se uma delas não tem um limite finito, a soma também não terá.

Resposta

A soma termo a termo Sigma(an+bn) diverge, já que a série Sigma bn que está sendo somada diverge.

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