Calcule o inverso multiplicativo de 7 em Z101.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o inverso multiplicativo de 7 em Z101. Isso significa que queremos encontrar um número que, quando multiplicado por 7, dê 1 no módulo 101. Para resolver isso, vamos usar o Algoritmo de Euclides Estendido, que nos ajuda a encontrar inversos multiplicativos em aritmética modular.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um inverso multiplicativo. Em termos simples, o inverso de um número a em Zm é um número x tal que:
a times x equiv 1 pmodm
No nosso caso, a = 7 e m = 101, então queremos encontrar x que satisfaz:
7 times x equiv 1 pmod101

Passo 3

Para encontrar esse x, vamos usar o Algoritmo de Euclides Estendido. Ele nos ajuda a resolver equações da forma ax + my = gcd(a, m). Se encontrarmos que o máximo divisor comum (MDC) de a e m é 1, então o inverso multiplicativo existe e podemos encontrar x.

Passo 4

Vamos aplicar o Algoritmo de Euclides para encontrar o MDC de 7 e 101:
101 = 14 times 7 + 3
7 = 2 times 3 + 1
3 = 3 times 1 + 0
Aqui, o último resto diferente de zero é 1, então gcd(7, 101) = 1. Isso confirma que o inverso existe.

Passo 5

Agora, vamos usar o Algoritmo de Euclides Estendido para expressar 1 como combinação linear de 7 e 101:
  1. Do passo anterior: 1 = 7 - 2 times 3
  2. Substituímos 3 da primeira equação: 3 = 101 - 14 times 7
  3. Então:
1 = 7 - 2 times (101 - 14 times 7) = 7 - 2 times 101 + 28 times 7 = 29 times 7 - 2 times 101

Passo 6

A equação 1 = 29 times 7 - 2 times 101 mostra que 29 times 7 equiv 1 pmod101. Portanto, 29 é o inverso multiplicativo de 7 em Z101.

Resposta

O inverso multiplicativo de 7 em Z101 é 29.

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