Calcule o inverso multiplicativo de
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o inverso multiplicativo de 7 em
. Isso significa que queremos encontrar um número que, quando multiplicado por 7, dê 1 no módulo 101. Para resolver isso, vamos usar o Algoritmo de Euclides Estendido, que nos ajuda a encontrar inversos multiplicativos em aritmética modular.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um inverso multiplicativo. Em termos simples, o inverso de um número
em
é um número
tal que:
No nosso caso,
e
, então queremos encontrar
que satisfaz:
Passo 3
Para encontrar esse
, vamos usar o Algoritmo de Euclides Estendido. Ele nos ajuda a resolver equações da forma
. Se encontrarmos que o máximo divisor comum (MDC) de
e
é 1, então o inverso multiplicativo existe e podemos encontrar
.
Passo 4
Vamos aplicar o Algoritmo de Euclides para encontrar o MDC de 7 e 101:
Aqui, o último resto diferente de zero é 1, então
. Isso confirma que o inverso existe.
Passo 5
Agora, vamos usar o Algoritmo de Euclides Estendido para expressar 1 como combinação linear de 7 e 101:
- Do passo anterior:
- Substituímos
da primeira equação: - Então:
Passo 6
A equação
mostra que
. Portanto,
é o inverso multiplicativo de
em
.
Resposta
O inverso multiplicativo de 7 em
é
.