Considere o conjunto
e o conjunto de escalares
, com as operaçöes de soma e multiplicação por escalar definidas em
e
por:
.
Afirmações:
I
II Se
então
III Se
então
IV
Estão corretas as afirmativas:
a Apenas I e III
Afirmações:
I
II Se
III Se
IV
Estão corretas as afirmativas:
a Apenas I e III
Passo 1
Vamos analisar o exercício que envolve o conjunto
com operações de soma e multiplicação por escalar definidas de forma específica. O objetivo é verificar quais das afirmações I, II, III e IV são corretas com base nessas definições. Precisaremos entender como essas operações diferem das operações padrão em
e aplicar as propriedades de um espaço vetorial para cada afirmação.
Passo 2
Afirmação I:
Primeiro, vamos verificar se a operação de soma definida é comutativa. Pela definição:
Comparando as duas expressões:
Ambas resultam em
, portanto, a soma é comutativa.
Passo 3
Afirmação II: Se
então
Para encontrar o vetor zero
, devemos que, para todo vetor
:
Aplicando a definição da soma:
Isso implica que:
A única maneira de
ser verdadeira para todo
é que
, o que não é possível. Portanto, não existe um vetor zero que satisfaça essa condição com a definição de soma dada. A afirmação II está incorreta.
Passo 4
Afirmação III: Se
então
Vamos encontrar o vetor oposto
tal que:
Usando a definição da soma:
Queremos que isso seja igual ao vetor zero
. Porém, como vimos na afirmação II, não existe um vetor zero válido com essa operação. Mesmo assim, a expressão para
dada na afirmação é a correta inversa aditiva com base na definição de soma fornecida.
Passo 5
Afirmação IV:
Vamos verificar a multiplicação por escalar. Pela definição:
Para que
seja igual a
, precisaríamos que:
Isso implica que
. Porém, isso não é verdadeiro para todos os vetores em
. Portanto, a afirmação IV está incorreta.
Resposta
Apenas as afirmações I e III estão corretas.