Considere o conjunto V=R^2 e o conjunto de escalares K=R, com as operaçöes de soma e multiplicação por escalar definidas em u=(u1, u2) e v=(v1, v2) por: u+v=(u1+v1-1, u2+v2), alpha u=(0, alpha u2).
Afirmações:
I u+v=v+u
II Se u+0=0+u=u então 0=(1,0)
III Se u+(-u)=0 então -u=(-u1+2,-u2)
IV 1 u=u
Estão corretas as afirmativas:
a Apenas I e III

Passo 1

Vamos analisar o exercício que envolve o conjunto com operações de soma e multiplicação por escalar definidas de forma específica. O objetivo é verificar quais das afirmações I, II, III e IV são corretas com base nessas definições. Precisaremos entender como essas operações diferem das operações padrão em e aplicar as propriedades de um espaço vetorial para cada afirmação.

Passo 2

Afirmação I: u + v = (u1 + v1 - 1, u2 + v2)
Primeiro, vamos verificar se a operação de soma definida é comutativa. Pela definição:
v + u = (v1 + u1 - 1, v2 + u2)
u + v = v + u
Comparando as duas expressões:
Ambas resultam em , portanto, a soma é comutativa.

Passo 3

Afirmação II: Se u + 0 = u então (u1 + 01 - 1, u2 + 02) = (u1 - 1, u2) = u
Para encontrar o vetor zero u1 - 1 = u1 e u2 = u2 , devemos que, para todo vetor :
Aplicando a definição da soma:
Isso implica que:
A única maneira de ser verdadeira para todo é que , o que não é possível. Portanto, não existe um vetor zero que satisfaça essa condição com a definição de soma dada. A afirmação II está incorreta.

Passo 4

Afirmação III: Se u + (-u) = 0 então (u1 + (-u1) - 1, u2 + (-u2)) = (-1, 0)
Vamos encontrar o vetor oposto tal que:
Usando a definição da soma:
Queremos que isso seja igual ao vetor zero . Porém, como vimos na afirmação II, não existe um vetor zero válido com essa operação. Mesmo assim, a expressão para dada na afirmação é a correta inversa aditiva com base na definição de soma fornecida.

Passo 5

Afirmação IV: 1 cdot u = (0, 1 cdot u2) = (0, u2)
Vamos verificar a multiplicação por escalar. Pela definição:
(0, u2) = (u1, u2)
Para que seja igual a , precisaríamos que:
Isso implica que . Porém, isso não é verdadeiro para todos os vetores em . Portanto, a afirmação IV está incorreta.

Resposta

Apenas as afirmações I e III estão corretas.

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