Construa as tabelas de operações do anel quociente 2 Z6 Z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir as tabelas de operações (adição e multiplicação) do anel quociente . Isso envolve conceitos de álgebra, como anéis quocientes, cosets e as operações dentro deles. Vamos precisar entender como identificar os elementos desse anel quociente e como realizar as operações de adição e multiplicação entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é e .
  • representa todos os múltiplos de 2, ou seja, .
  • representa todos os múltiplos de 6, ou seja, .
Como está dentro de (porque todo múltiplo de 6 é também múltiplo de 2), podemos formar o anel quociente .

Passo 3

Agora, vamos identificar os cosets desse anel quociente. Um coset é um conjunto que você forma adicionando um representante a todos os elementos do ideal. Aqui, cada coset será da forma , onde é um elemento de .
Vamos pegar os múltiplos de 2 e ver quais diferentes cosets temos:
  1. Coset de 0:
  2. Coset de 2:
  3. Coset de 4:
Verificamos que o próximo múltiplo, 6, cai de volta no coset de 0. Então, temos 3 cosets distintos: [0], [2] e [4].

Passo 4

Agora que sabemos que tem três elementos, vamos nomeá-los como:
Esses três elementos vão compor nosso anel quociente. O próximo passo é definir como somar e multiplicar esses elementos.

Passo 5

Adição dos cosets:
A adição em um anel quociente é feita somando os representantes e depois encontrando o coset correspondente. Por exemplo:
Vamos construir a tabela de adição:
+ [0] [2] [4]
[0] [0] [2] [4]
[2] [2] [4] [0]
[4] [4] [0] [2]
Multiplicação dos cosets:
A multiplicação em um anel quociente é feita multiplicando os representantes e depois encontrando o coset correspondente. Por exemplo:
Vamos construir a tabela de multiplicação:
× [0] [2] [4]
[0] [0] [0] [0]
[2] [0] [4] [2]
[4] [0] [2] [4]

Resposta

As tabelas de operações do anel quociente são:
Tabela de Adição:
+ [0] [2] [4]
[0] [0] [2] [4]
[2] [2] [4] [0]
[4] [4] [0] [2]
Tabela de Multiplicação:
× [0] [2] [4]
[0] [0] [0] [0]
[2] [0] [4] [2]
[4] [0] [2] [4]

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