Construa as tabelas de operações do anel quociente
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir as tabelas de operações (adição e multiplicação) do anel quociente
. Isso envolve conceitos de álgebra, como anéis quocientes, cosets e as operações dentro deles. Vamos precisar entender como identificar os elementos desse anel quociente e como realizar as operações de adição e multiplicação entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
e
.
-
representa todos os múltiplos de 2, ou seja, . -
representa todos os múltiplos de 6, ou seja, .
Como
está dentro de
(porque todo múltiplo de 6 é também múltiplo de 2), podemos formar o anel quociente
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os cosets desse anel quociente. Um coset é um conjunto que você forma adicionando um representante a todos os elementos do ideal. Aqui, cada coset será da forma
, onde
é um elemento de
.
Vamos pegar os múltiplos de 2 e ver quais diferentes cosets temos:
- Coset de 0:
- Coset de 2:
- Coset de 4:
Verificamos que o próximo múltiplo, 6, cai de volta no coset de 0. Então, temos 3 cosets distintos: [0], [2] e [4].
Passo 4
Agora que sabemos que
tem três elementos, vamos nomeá-los como:
Esses três elementos vão compor nosso anel quociente. O próximo passo é definir como somar e multiplicar esses elementos.
Passo 5
Adição dos cosets:
A adição em um anel quociente é feita somando os representantes e depois encontrando o coset correspondente. Por exemplo:
Vamos construir a tabela de adição:
+ | [0] | [2] | [4] |
---|---|---|---|
[0] | [0] | [2] | [4] |
[2] | [2] | [4] | [0] |
[4] | [4] | [0] | [2] |
Multiplicação dos cosets:
A multiplicação em um anel quociente é feita multiplicando os representantes e depois encontrando o coset correspondente. Por exemplo:
Vamos construir a tabela de multiplicação:
× | [0] | [2] | [4] |
---|---|---|---|
[0] | [0] | [0] | [0] |
[2] | [0] | [4] | [2] |
[4] | [0] | [2] | [4] |
Resposta
As tabelas de operações do anel quociente
são:
Tabela de Adição:
+ | [0] | [2] | [4] |
---|---|---|---|
[0] | [0] | [2] | [4] |
[2] | [2] | [4] | [0] |
[4] | [4] | [0] | [2] |
Tabela de Multiplicação:
× | [0] | [2] | [4] |
---|---|---|---|
[0] | [0] | [0] | [0] |
[2] | [0] | [4] | [2] |
[4] | [0] | [2] | [4] |