para todo .
Recorde que, por definição, uma matriz é diagonalizável se existe uma matriz inversível (ou seja, uma matriz com determinante diferente de zero) tal que é uma matriz diagonal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o item (e) que pede para calcular . O conteúdo aqui é sobre diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como uma matriz diagonalizável pode ser elevada a uma potência utilizando uma matriz inversível e uma matriz diagonal .
Passo 2
Primeiro, sabemos que se a matriz é diagonalizável, então podemos escrevê-la na forma , onde é uma matriz inversível e é uma matriz diagonal. Isso é ótimo porque trabalhar com matrizes diagonais é muito mais fácil, especialmente para calcular potências.
Passo 3
Agora, queremos calcular . Utilizando a propriedade que você mencionou:
Aqui, é a potência que queremos, que neste caso é 4.
Passo 4
Aplicando essa propriedade para , temos:
Isso significa que, para encontrar , basta elevar a matriz diagonal à quarta potência e então fazer a multiplicação com e .
Passo 5
Como é uma matriz diagonal, elevar à quarta potência é simples: basta elevar cada elemento da diagonal à quarta potência. Se for:
Então:
Passo 6
Finalmente, substituímos de volta na expressão para :
Isso nos dá a matriz elevada à quarta potência utilizando sua forma diagonalizada.