(e) Calcule .
Para o item (e), lembre-se que
para todo .
Recorde que, por definição, uma matriz é diagonalizável se existe uma matriz inversível (ou seja, uma matriz com determinante diferente de zero) tal que é uma matriz diagonal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item (e) que pede para calcular . O conteúdo aqui é sobre diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como uma matriz diagonalizável pode ser elevada a uma potência utilizando uma matriz inversível e uma matriz diagonal .

Passo 2

Primeiro, sabemos que se a matriz é diagonalizável, então podemos escrevê-la na forma , onde é uma matriz inversível e é uma matriz diagonal. Isso é ótimo porque trabalhar com matrizes diagonais é muito mais fácil, especialmente para calcular potências.

Passo 3

Agora, queremos calcular . Utilizando a propriedade que você mencionou:
Aqui, é a potência que queremos, que neste caso é 4.

Passo 4

Aplicando essa propriedade para , temos:
Isso significa que, para encontrar , basta elevar a matriz diagonal à quarta potência e então fazer a multiplicação com e .

Passo 5

Como é uma matriz diagonal, elevar à quarta potência é simples: basta elevar cada elemento da diagonal à quarta potência. Se for:
Então:

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta na expressão para :
Isso nos dá a matriz elevada à quarta potência utilizando sua forma diagonalizada.

Resposta

Portanto, a quarta potência da matriz é dada por:

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Em cada um dos casos abaixo, esboce o conjunto dos pontos cujas coordenadas e cumprem as condi, čoes especificadas.
(a) e
Determinar, no eixo , um ponto que seja equidistante dos pontos e .
O vetor é ortogonal à e forma um ângulo agudo com o vetor . Determinar , sabendo que .
Obtenha os dois vetores unitários ortogonais a: