(e) Calcule A^4.
Para o item (e), lembre-se que
(Q^-1 B Q)^k=Q^-1 B^k Q
para todo k >= 1.
Recorde que, por definição, uma matriz A in Mn times n(R) é diagonalizável se existe uma matriz inversível P (ou seja, uma matriz com determinante diferente de zero) tal que P^-1 A P é uma matriz diagonal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item (e) que pede para calcular A^4. O conteúdo aqui é sobre diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como uma matriz diagonalizável pode ser elevada a uma potência utilizando uma matriz inversível Q e uma matriz diagonal B.

Passo 2

Primeiro, sabemos que se a matriz A é diagonalizável, então podemos escrevê-la na forma A = Q^-1 B Q, onde Q é uma matriz inversível e B é uma matriz diagonal. Isso é ótimo porque trabalhar com matrizes diagonais é muito mais fácil, especialmente para calcular potências.

Passo 3

Agora, queremos calcular A^4. Utilizando a propriedade que você mencionou:
(Q^-1 B Q)^k = Q^-1 B^k Q
Aqui, k é a potência que queremos, que neste caso é 4.

Passo 4

Aplicando essa propriedade para k = 4, temos:
A^4 = (Q^-1 B Q)^4 = Q^-1 B^4 Q
Isso significa que, para encontrar A^4, basta elevar a matriz diagonal B à quarta potência e então fazer a multiplicação com Q^-1 e Q.

Passo 5

Como B é uma matriz diagonal, elevar B à quarta potência é simples: basta elevar cada elemento da diagonal à quarta potência. Se B for:
B = lambda1 & 0 & cdots & 0 0 & lambda2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & lambdan
Então:
B^4 = lambda1^4 & 0 & cdots & 0 0 & lambda2^4 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & lambdan^4

Passo 6

Finalmente, substituímos B^4 de volta na expressão para A^4:
A^4 = Q^-1 B^4 Q
Isso nos dá a matriz A elevada à quarta potência utilizando sua forma diagonalizada.

Resposta

Portanto, a quarta potência da matriz A é dada por:
A^4 = Q^-1 B^4 Q

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