Obtenha os dois vetores unitários ortogonais a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos dois vetores unitários ortogonais ao vetor
.
- Vetores unitários são vetores com magnitude (ou comprimento) igual a 1.
- Vetores ortogonais são vetores que formam um ângulo de 90 graus entre si, ou seja, seu produto escalar é zero.
Para resolver isso, precisamos:
- Encontrar vetores que sejam perpendiculares ao
. - Transformar esses vetores em vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar vetores que são ortogonais a
.
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles for zero. Então, queremos encontrar um vetor
tal que:
Isso nos dá a equação:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre
e
:
Isso significa que qualquer vetor ortogonal a
tem componentes que satisfazem
.
Passo 4
Para facilitar, vamos escolher um valor para
e encontrar
:
- Se
, então .
Então, um vetor ortogonal é
.
Outro vetor ortogonal pode ser obtido invertendo um sinal, então
.
Passo 5
Agora precisamos transformar esses vetores ortogonais em vetores unitários. Para isso, dividimos cada vetor pela sua magnitude.
A magnitude de um vetor
é dada por:
Vamos calcular a magnitude de
:
Passo 6
Finalmente, vamos encontrar os vetores unitários dividindo
e
pela sua magnitude
:
Resposta
Os dois vetores unitários ortogonais a
são:
e
Exercícios relacionados
O vetor
é ortogonal à
e forma um ângulo agudo com o vetor
. Determinar
, sabendo que
.
(e) Calcule
.
Para o item (e), lembre-se que
Para o item (e), lembre-se que
para todo
.
Recorde que, por definição, uma matriz é diagonalizável se existe uma matriz inversível
(ou seja, uma matriz com determinante diferente de zero) tal que
é uma matriz diagonal.
Recorde que, por definição, uma matriz
Determine o ângulo entre os vetores:
e
Determine o ângulo entre os vetores:
e