Obtenha os dois vetores unitários ortogonais a:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos dois vetores unitários ortogonais ao vetor .
  • Vetores unitários são vetores com magnitude (ou comprimento) igual a 1.
  • Vetores ortogonais são vetores que formam um ângulo de 90 graus entre si, ou seja, seu produto escalar é zero.
Para resolver isso, precisamos:
  1. Encontrar vetores que sejam perpendiculares ao .
  2. Transformar esses vetores em vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar vetores que são ortogonais a .
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles for zero. Então, queremos encontrar um vetor tal que:
Isso nos dá a equação:

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre e :
Isso significa que qualquer vetor ortogonal a tem componentes que satisfazem .

Passo 4

Para facilitar, vamos escolher um valor para e encontrar :
  • Se , então .
Então, um vetor ortogonal é .
Outro vetor ortogonal pode ser obtido invertendo um sinal, então .

Passo 5

Agora precisamos transformar esses vetores ortogonais em vetores unitários. Para isso, dividimos cada vetor pela sua magnitude.
A magnitude de um vetor é dada por:
Vamos calcular a magnitude de :

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar os vetores unitários dividindo e pela sua magnitude :

Resposta

Os dois vetores unitários ortogonais a são:
e

Exercícios relacionados

O vetor é ortogonal à e forma um ângulo agudo com o vetor . Determinar , sabendo que .
(e) Calcule .
Para o item (e), lembre-se que
para todo .
Recorde que, por definição, uma matriz é diagonalizável se existe uma matriz inversível (ou seja, uma matriz com determinante diferente de zero) tal que é uma matriz diagonal.
Determine o ângulo entre os vetores: e
Determine o ângulo entre os vetores: e