Obtenha os dois vetores unitários ortogonais a: -2 i+3 j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos dois vetores unitários ortogonais ao vetor .
  • Vetores unitários são vetores com magnitude (ou comprimento) igual a 1.
  • Vetores ortogonais são vetores que formam um ângulo de 90 graus entre si, ou seja, seu produto escalar é zero.
Para resolver isso, precisamos:
  1. Encontrar vetores que sejam perpendiculares ao .
  2. Transformar esses vetores em vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar vetores que são ortogonais a v cdot u = (-2)(a) + (3)(b) = 0 .
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles for zero. Então, queremos encontrar um vetor -2a + 3b = 0 tal que:
Isso nos dá a equação:

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre -2a + 3b = 0 Rightarrow 3b = 2a Rightarrow b = 23a e :
Isso significa que qualquer vetor ortogonal a tem componentes que satisfazem .

Passo 4

Para facilitar, vamos escolher um valor para e encontrar :
  • Se , então .
Então, um vetor ortogonal é .
Outro vetor ortogonal pode ser obtido invertendo um sinal, então .

Passo 5

Agora precisamos transformar esses vetores ortogonais em vetores unitários. Para isso, dividimos cada vetor pela sua magnitude.
A magnitude de um vetor |u| = raiza^2 + b^2 é dada por:
|u1| = raiz3^2 + 2^2 = raiz9 + 4 = raiz13
Vamos calcular a magnitude de :

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar os vetores unitários dividindo e1 = 3i + 2jraiz13 e e2 = -3i - 2jraiz13 pela sua magnitude :

Resposta

Os dois vetores unitários ortogonais a e1 = 3i + 2jraiz13 são:
e2 = -3i - 2jraiz13
e

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