Determinar, no eixo O x, um ponto P que seja equidistante dos pontos A=(-1,-2) e B= (4,-3).

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para encontrar um ponto no eixo que esteja à mesma distância dos pontos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o ponto está no eixo , o que significa que sua coordenada é zero. Então, podemos representar como .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as distâncias de para e para e igualá-las, já que é equidistante dos dois pontos.

Passo 4

A fórmula da distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e é:
Vamos aplicar essa fórmula para e .

Passo 5

Calculando PA = raiz(x - (-1))^2 + (0 - (-2))^2 = raiz(x + 1)^2 + 2^2 = raiz(x + 1)^2 + 4 :

Passo 6

Calculando PB = raiz(x - 4)^2 + (0 - (-3))^2 = raiz(x - 4)^2 + 3^2 = raiz(x - 4)^2 + 9 :

Passo 7

Como raiz(x + 1)^2 + 4 = raiz(x - 4)^2 + 9 , temos:
(x + 1)^2 + 4 = (x - 4)^2 + 9
Vamos eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 8

Expandindo os quadrados:
x^2 + 2x + 1 + 4 = x^2 - 8x + 16 + 9
Simplificando:
x^2 + 2x + 5 = x^2 - 8x + 25

Passo 9

Subtraindo 2x + 5 = -8x + 25 de ambos os lados:
10x + 5 = 25
Somando 10x = 20 em ambos os lados:
x = 2
Subtraindo 5:
Dividindo por 10:

Resposta

O ponto no eixo que é equidistante dos pontos e é .

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