O vetor v é ortogonal à u=(1,2) e forma um ângulo agudo com o vetor j. Determinar v, sabendo que |v|=5.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor v que é ortogonal ao vetor u = (1, 2), ou seja, eles são perpendiculares. Além disso, v forma um ângulo agudo com o vetor j, que é o vetor unitário na direção positiva do eixo y, ou seja, j = (0, 1). Também sabemos que a norma (ou tamanho) de v é 5. Vamos usar esses dados para encontrar o vetor v.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar entre v = (vx, vy) e u = (1, 2) é:
v cdot u = vx cdot 1 + vy cdot 2 = vx + 2vy
Como são ortogonais, esse produto deve ser igual a zero:
vx + 2vy = 0 (1)

Passo 3

Agora, sabemos que a norma de v é 5. A norma de um vetor v = (vx, vy) é dada por:
|v| = raizvx^2 + vy^2
Então, temos:
raizvx^2 + vy^2 = 5
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
vx^2 + vy^2 = 25 (2)

Passo 4

Também é dado que v forma um ângulo agudo com j. O vetor j = (0, 1). O ângulo entre dois vetores é agudo se o produto escalar entre eles for positivo. Então:
v cdot j = vx cdot 0 + vy cdot 1 = vy > 0
Portanto, vy > 0.

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações:
vx + 2vy = 0 (1) vx^2 + vy^2 = 25 (2) vy > 0
Vamos resolver o sistema. Da equação (1), podemos expressar vx em função de vy:
vx = -2vy

Passo 6

Substituindo vx = -2vy na equação (2):
(-2vy)^2 + vy^2 = 25 4vy^2 + vy^2 = 25 5vy^2 = 25 vy^2 = 5 vy = raiz5
Como vy > 0, descartamos a solução negativa.

Passo 7

Agora que encontramos vy = raiz5, vamos encontrar vx usando vx = -2vy:
vx = -2raiz5

Resposta

O vetor v é v = (-2raiz5, raiz5).

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