O vetor é ortogonal à e forma um ângulo agudo com o vetor . Determinar , sabendo que .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor que é ortogonal ao vetor , ou seja, eles são perpendiculares. Além disso, forma um ângulo agudo com o vetor , que é o vetor unitário na direção positiva do eixo y, ou seja, . Também sabemos que a norma (ou tamanho) de é 5. Vamos usar esses dados para encontrar o vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar entre e é:
Como são ortogonais, esse produto deve ser igual a zero:

Passo 3

Agora, sabemos que a norma de é 5. A norma de um vetor é dada por:
Então, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 4

Também é dado que forma um ângulo agudo com . O vetor . O ângulo entre dois vetores é agudo se o produto escalar entre eles for positivo. Então:
Portanto, .

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver o sistema. Da equação (1), podemos expressar em função de :

Passo 6

Substituindo na equação (2):
Como , descartamos a solução negativa.

Passo 7

Agora que encontramos , vamos encontrar usando :

Resposta

O vetor é .

Exercícios relacionados

(e) Calcule .
Para o item (e), lembre-se que
para todo .
Recorde que, por definição, uma matriz é diagonalizável se existe uma matriz inversível (ou seja, uma matriz com determinante diferente de zero) tal que é uma matriz diagonal.
Em cada um dos casos abaixo, esboce o conjunto dos pontos cujas coordenadas e cumprem as condi, čoes especificadas.
(a) e
Obtenha os dois vetores unitários ortogonais a:
Determine o ângulo entre os vetores: e