O vetor é ortogonal à e forma um ângulo agudo com o vetor . Determinar , sabendo que .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor que é ortogonal ao vetor , ou seja, eles são perpendiculares. Além disso, forma um ângulo agudo com o vetor , que é o vetor unitário na direção positiva do eixo y, ou seja, . Também sabemos que a norma (ou tamanho) de é 5. Vamos usar esses dados para encontrar o vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar entre e é:
Como são ortogonais, esse produto deve ser igual a zero:
Passo 3
Agora, sabemos que a norma de é 5. A norma de um vetor é dada por:
Então, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 4
Também é dado que forma um ângulo agudo com . O vetor . O ângulo entre dois vetores é agudo se o produto escalar entre eles for positivo. Então:
Portanto, .
Passo 5
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver o sistema. Da equação (1), podemos expressar em função de :