Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular
. Esse problema está relacionado ao conteúdo de números complexos e potenciação com expoentes complexos. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de forma polar de números complexos e propriedades de logaritmos e exponenciais aplicadas a números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o número complexo
na forma polar. A forma polar de um número complexo é
, onde
é o módulo e
é o argumento do número. Para
:
- O módulo
é (já que está na frente de ). - O argumento
é , porque está no eixo imaginário positivo.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular
usando a forma polar que encontramos:
Para potenciação de números complexos, usamos a propriedade:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 4
Vamos multiplicar os termos no expoente:
Lembrando que
:
Agrupando as partes reais e imaginárias:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na expressão exponencial:
Simplificando
, que é igual a
:
Passo 6
Podemos deixar a resposta na forma exponencial ou convertê-la para a forma retangular
. Para deixar na forma retangular, usamos a fórmula de Euler:
Aplicando isso:
Resposta
Portanto, o valor de
é:
Exercícios relacionados
Calcule:
Obtenha as partes real e imaginária das seguintes funções complexas de variáveis reais:
Represente, no plano complexo, os números:
Converta-os para a forma polar ( ).
Converta-os para a forma polar (
Usando a identidade de Euler, mostre que: