Calcule: (2 j)^1+j

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular (2j)^1+j. Esse problema está relacionado ao conteúdo de números complexos e potenciação com expoentes complexos. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de forma polar de números complexos e propriedades de logaritmos e exponenciais aplicadas a números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o número complexo 2j na forma polar. A forma polar de um número complexo é re^jtheta, onde r é o módulo e theta é o argumento do número. Para 2j:
  • O módulo r é 2 (já que está na frente de j).
  • O argumento theta é pi2, porque j está no eixo imaginário positivo.
Então, temos:
2j = 2e^jpi2

Passo 3

Agora, vamos calcular (2j)^1+j usando a forma polar que encontramos:
(2e^jpi2)^1+j
Para potenciação de números complexos, usamos a propriedade:
(re^jtheta)^a+bj = e^(a+bj)(ln r + jtheta)
Aplicando isso ao nosso caso:
(2e^jpi2)^1+j = e^(1+j)(ln 2 + jpi2)

Passo 4

Vamos multiplicar os termos no expoente:
(1+j)(ln 2 + jpi2) = 1 cdot ln 2 + 1 cdot jpi2 + j cdot ln 2 + j cdot jpi2
Lembrando que j^2 = -1:
= ln 2 + jpi2 + jln 2 - pi2
Agrupando as partes reais e imaginárias:
= (ln 2 - pi2) + j(pi2 + ln 2)

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão exponencial:
e^(ln 2 - pi2) + j(pi2 + ln 2) = e^ln 2 - pi2 cdot e^j(pi2 + ln 2)
Simplificando e^ln 2, que é igual a 2:
= 2e^-pi2 cdot e^j(pi2 + ln 2)

Passo 6

Podemos deixar a resposta na forma exponencial ou convertê-la para a forma retangular a + jb. Para deixar na forma retangular, usamos a fórmula de Euler:
e^jtheta = costheta + jsintheta
Aplicando isso:
2e^-pi2 cdot [cos(pi2 + ln 2) + jsin(pi2 + ln 2)]

Resposta

Portanto, o valor de (2j)^1+j é:
2e^-pi2 [cos(pi2 + ln 2) + jsin(pi2 + ln 2)]

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