Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular . Esse problema está relacionado ao conteúdo de números complexos e potenciação com expoentes complexos. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de forma polar de números complexos e propriedades de logaritmos e exponenciais aplicadas a números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o número complexo na forma polar. A forma polar de um número complexo é , onde é o módulo e é o argumento do número. Para :
  • O módulo é (já que está na frente de ).
  • O argumento é , porque está no eixo imaginário positivo.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular usando a forma polar que encontramos:
Para potenciação de números complexos, usamos a propriedade:
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 4

Vamos multiplicar os termos no expoente:
Lembrando que :
Agrupando as partes reais e imaginárias:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão exponencial:
Simplificando , que é igual a :

Passo 6

Podemos deixar a resposta na forma exponencial ou convertê-la para a forma retangular . Para deixar na forma retangular, usamos a fórmula de Euler:
Aplicando isso:

Resposta

Portanto, o valor de é:

Exercícios relacionados

Calcule:
Obtenha as partes real e imaginária das seguintes funções complexas de variáveis reais:
Represente, no plano complexo, os números:
Converta-os para a forma polar ( ).
Usando a identidade de Euler, mostre que: