Represente, no plano complexo, os números: -2-j 3
Converta-os para a forma polar ( r e^j theta,-pi ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para representarmos o número complexo -2 - j3 no plano complexo e, depois, converter esse número para a forma polar, que é r e^j theta, onde theta está entre -pi e pi. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números complexos, o plano complexo e como fazer a conversão para a forma polar usando magnitude e ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o número complexo -2 - j3. Um número complexo é formado por uma parte real e uma parte imaginária. No caso, a parte real é -2 e a parte imaginária é -3. No plano complexo, a parte real é representada no eixo horizontal (eixo x) e a parte imaginária no eixo vertical (eixo y). Então, o ponto -2 - j3 fica 2 unidades para a esquerda do eixo y e 3 unidades para baixo do eixo x.

Passo 3

Agora, para converter esse número para a forma polar, precisamos encontrar duas coisas: a magnitude ( r) e o ângulo ( theta).
A magnitude é a distância do ponto até a origem do plano complexo e pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras:
r = raiza^2 + b^2
onde a é a parte real e b é a parte imaginária.

Passo 4

Vamos calcular a magnitude:
r = raiz(-2)^2 + (-3)^2 = raiz4 + 9 = raiz13 approx 3,605
Então, a magnitude r é aproximadamente 3,605.

Passo 5

O próximo passo é encontrar o ângulo theta, que é o arco cuja tangente é o quociente entre a parte imaginária e a parte real:
theta = tan^-1(ba)
No nosso caso:
theta = tan^-1(-3-2) = tan^-1(1,5)

Passo 6

Calculando o arco tangente de 1,5:
theta approx 56,31^circ
Mas precisamos considerar em qual quadrante o ponto está. Como tanto a parte real quanto a imaginária são negativas, o ponto está no terceiro quadrante. Portanto, o ângulo real é:
theta = pi + 0,9828 , radianos approx -2,356 , radianos
(onde 0,9828 radianos é aproximadamente 56,31 graus convertido para radianos)

Passo 7

Agora que temos a magnitude r approx 3,605 e o ângulo theta approx -2,356 radianos, podemos escrever a forma polar do número complexo:
-2 - j3 = 3,605 , e^j(-2,356)

Resposta

A forma polar do número complexo -2 - j3 é aproximadamente 3,605 , e^-j2,356.

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