Represente, no plano complexo, os números:
Converta-os para a forma polar ( ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para representarmos o número complexo no plano complexo e, depois, converter esse número para a forma polar, que é , onde está entre e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números complexos, o plano complexo e como fazer a conversão para a forma polar usando magnitude e ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o número complexo . Um número complexo é formado por uma parte real e uma parte imaginária. No caso, a parte real é e a parte imaginária é . No plano complexo, a parte real é representada no eixo horizontal (eixo x) e a parte imaginária no eixo vertical (eixo y). Então, o ponto fica 2 unidades para a esquerda do eixo y e 3 unidades para baixo do eixo x.

Passo 3

Agora, para converter esse número para a forma polar, precisamos encontrar duas coisas: a magnitude ( ) e o ângulo ( ).
A magnitude é a distância do ponto até a origem do plano complexo e pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras:
onde é a parte real e é a parte imaginária.

Passo 4

Vamos calcular a magnitude:
Então, a magnitude é aproximadamente 3,605.

Passo 5

O próximo passo é encontrar o ângulo , que é o arco cuja tangente é o quociente entre a parte imaginária e a parte real:
No nosso caso:

Passo 6

Calculando o arco tangente de 1,5:
Mas precisamos considerar em qual quadrante o ponto está. Como tanto a parte real quanto a imaginária são negativas, o ponto está no terceiro quadrante. Portanto, o ângulo real é:
(onde radianos é aproximadamente 56,31 graus convertido para radianos)

Passo 7

Agora que temos a magnitude e o ângulo radianos, podemos escrever a forma polar do número complexo:

Resposta

A forma polar do número complexo é aproximadamente .

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