Represente, no plano complexo, os números:
Converta-os para a forma polar (
).
Converta-os para a forma polar (
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para representarmos o número complexo
no plano complexo e, depois, converter esse número para a forma polar, que é
, onde
está entre
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números complexos, o plano complexo e como fazer a conversão para a forma polar usando magnitude e ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o número complexo
. Um número complexo é formado por uma parte real e uma parte imaginária. No caso, a parte real é
e a parte imaginária é
. No plano complexo, a parte real é representada no eixo horizontal (eixo x) e a parte imaginária no eixo vertical (eixo y). Então, o ponto
fica 2 unidades para a esquerda do eixo y e 3 unidades para baixo do eixo x.
Passo 3
Agora, para converter esse número para a forma polar, precisamos encontrar duas coisas: a magnitude (
) e o ângulo (
).
A magnitude é a distância do ponto até a origem do plano complexo e pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras:
onde
é a parte real e
é a parte imaginária.
Passo 4
Vamos calcular a magnitude:
Então, a magnitude
é aproximadamente 3,605.
Passo 5
O próximo passo é encontrar o ângulo
, que é o arco cuja tangente é o quociente entre a parte imaginária e a parte real:
No nosso caso:
Passo 6
Calculando o arco tangente de 1,5:
Mas precisamos considerar em qual quadrante o ponto está. Como tanto a parte real quanto a imaginária são negativas, o ponto está no terceiro quadrante. Portanto, o ângulo real é:
(onde
radianos é aproximadamente 56,31 graus convertido para radianos)
Passo 7
Agora que temos a magnitude
e o ângulo
radianos, podemos escrever a forma polar do número complexo:
Resposta
A forma polar do número complexo
é aproximadamente
.
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Calcule:
Calcule:
Usando a identidade de Euler, mostre que:
Calcule
e
considerando