Obtenha as partes real e imaginária das seguintes funções complexas de variáveis reais: X(omega)=-3+j omega 42-j omega 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar as partes real e imaginária da função complexa . Para isso, vamos precisar entender como dividir números complexos e separar as partes real e imaginária dessa divisão. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, pra dividir números complexos, é legal multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de X(omega) = (-3 + j4omega)(2 + j5omega)(2 - j5omega)(2 + j5omega) é . Isso zeroa a parte imaginária no denominador e facilita a divisão. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar o numerador e o denominador.
Numerador:
(-3)(2) + (-3)(j5omega) + (j4omega)(2) + (j4omega)(j5omega) = -6 - j15omega + j8omega + j^2 20omega^2
Lembrando que -6 - j15omega + j8omega - 20omega^2 = -6 - 20omega^2 - j7omega , fica:
(2)(2) + (2)(j5omega) + (-j5omega)(2) + (-j5omega)(j5omega) = 4 + j10omega - j10omega + j^2 25omega^2
Denominador:
4 + 0 - 25omega^2 = 4 - 25omega^2
Novamente, , então:

Passo 4

Agora temos:
X(omega) = -6 - 20omega^2 - j7omega4 - 25omega^2
Podemos separar isso em parte real e imaginária:
X(omega) = -6 - 20omega^24 - 25omega^2 + j(-7omega4 - 25omega^2)

Resposta

As partes real e imaginária da função Re[X(omega)] = -6 - 20omega^24 - 25omega^2 são:
Im[X(omega)] = -7omega4 - 25omega^2

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