Calcule: j^3+j

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular . Aqui, representa a unidade imaginária, onde . Isso faz parte da matéria de números complexos, e para resolver, vamos precisar usar a forma exponencial dos números complexos e a fórmula de Euler.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser representado na forma exponencial usando a fórmula de Euler: e^jpi2 = cos(pi2) + jsin(pi2) = 0 + j cdot 1 = j . No caso, sabemos que pode ser escrito como , porque:

Passo 3

Agora, vamos substituir j^3+j = (e^jpi2)^3 + j na expressão original usando a forma exponencial:

Passo 4

Quando temos uma potência com expoente complexo, podemos multiplicar os expoentes. Assim:
(e^jpi2)^3 + j = e^(3 + j) cdot jpi2

Passo 5

Vamos multiplicar (3 + j) cdot j = 3j + j^2 por 3j + j^2 = 3j - 1 :
Sabemos que , então:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão exponencial:
e^(3j - 1)pi2 = e^-pi2 cdot e^3jpi2

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula de Euler para e^3jpi2 = cos(3pi2) + jsin(3pi2) :
cos(3pi2) = 0 e sin(3pi2) = -1
Sabemos que:
e^3jpi2 = 0 - j = -j
Então:

Resposta

Portanto, a solução de j^3+j = -j cdot e^-pi2 é:

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