Verifique se a função y = x^(-2) ln(x) é solução da equação diferencial ordinária x^2 y'' + 5 x y' + 4 y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos verificar se a função resolve a equação diferencial ordinária . Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas de e substituir na equação para ver se ela é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Lembrando que , usamos a regra do produto para derivar:
Calculando cada parte:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , ou seja, . Novamente, usamos a regra do produto na expressão que encontramos para :
Derivando:
Calculando cada parte:
Então,

Passo 4

Agora que temos , e , vamos substituir esses valores na equação diferencial dada:
Substituindo:
Simplificando cada termo:
Portanto,

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:
Ou seja,

Resposta

A função satisfaz a equação diferencial , ou seja, é uma solução da equação.

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