Calcule, justificando cada passagem: lim x 0^+ x^3 ln (x).

Passo 1

Então, temos o exercício que nos pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 pela direita de . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de limites envolvendo funções logarítmicas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento de e se combinam quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão limx to 0^+ x^3 ln(x) = limx to 0^+ ln(x)x^-3 de uma forma que facilite a aplicação de técnicas de limite. Podemos escrever:
Aqui, transformamos o produto em uma fração para podermos aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos formas indeterminadas como .

Passo 3

Agora, identificamos que ao substituir por 0 na expressão , temos uma forma indeterminada . Essa é uma situação onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada. A regra de L’Hôpital nos diz que, se temos um limite da forma que resulta em ou , podemos derivar o numerador e o denominador e calcular o limite dessa nova fração.

Passo 4

Aplicamos a regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador:
f(x) = ln(x) Rightarrow f'(x) = 1x
g(x) = x^-3 Rightarrow g'(x) = -3x^-4
Então, o limite se torna:
limx to 0^+ f'(x)g'(x) = limx to 0^+ 1x-3x^-4 = limx to 0^+ 1x cdot -x^43 = limx to 0^+ -x^33

Passo 5

Simplificando a expressão resultante:
limx to 0^+ -x^33 = -13 limx to 0^+ x^3
Sabemos que , pois qualquer potência de tenderá a 0 quando se aproxima de 0.

Passo 6

Portanto, temos:
-13 times 0 = 0

Resposta

O limite é igual a .

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