Calcule, justificando cada passagem: .

Passo 1

Então, temos o exercício que nos pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 pela direita de . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de limites envolvendo funções logarítmicas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento de e se combinam quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma que facilite a aplicação de técnicas de limite. Podemos escrever:
Aqui, transformamos o produto em uma fração para podermos aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos formas indeterminadas como .

Passo 3

Agora, identificamos que ao substituir por 0 na expressão , temos uma forma indeterminada . Essa é uma situação onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada. A regra de L’Hôpital nos diz que, se temos um limite da forma que resulta em ou , podemos derivar o numerador e o denominador e calcular o limite dessa nova fração.

Passo 4

Aplicamos a regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador:
Então, o limite se torna:

Passo 5

Simplificando a expressão resultante:
Sabemos que , pois qualquer potência de tenderá a 0 quando se aproxima de 0.

Passo 6

Portanto, temos:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Resolva a equação da onda
sujeita às condições indicadas.
d)
Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
c)
Mostre que
©
Seja dada por:
(a)Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente.
(b)Encontrar os valores de máximos e mínimos locais.
©Encontre os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
(d)Esboçe o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores. O Ex. 2 © pode ser usado para o comportamento próximo de .