Calcule, justificando cada passagem:
.
Passo 1
Então, temos o exercício que nos pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 pela direita de
. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de limites envolvendo funções logarítmicas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento de
e
se combinam quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
de uma forma que facilite a aplicação de técnicas de limite. Podemos escrever:
Aqui, transformamos o produto em uma fração para podermos aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos formas indeterminadas como
.
Passo 3
Agora, identificamos que ao substituir
por 0 na expressão
, temos uma forma indeterminada
. Essa é uma situação onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada. A regra de L’Hôpital nos diz que, se temos um limite da forma
que resulta em
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador e calcular o limite dessa nova fração.
Passo 4
Aplicamos a regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador:
Então, o limite se torna:
Passo 5
Simplificando a expressão resultante:
Sabemos que
, pois qualquer potência de
tenderá a 0 quando
se aproxima de 0.
Passo 6
Portanto, temos:
Resposta
O limite
é igual a
.