Vamos resolver o exercício que nos pede para analisar a função definida para . Vamos precisar de conceitos de derivadas para encontrar onde a função é crescente ou decrescente, identificar máximos e mínimos locais, analisar a concavidade e encontrar pontos de inflexão, e por fim, esboçar o gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, para encontrar onde a função é crescente ou decrescente, precisamos calcular a primeira derivada . A derivada nos mostra a taxa de variação da função.
A derivada de é:
Passo 3
Agora, vamos determinar onde é positiva ou negativa para saber onde a função é crescente ou decrescente.
Como é sempre positivo para , o sinal de depende de :
Se (ou seja, ), então : função crescente.
Se (ou seja, ), então : função decrescente.
Se (ou seja, ), então : ponto crítico.
Passo 4
Para encontrar os valores de máximos e mínimos locais, analisamos o ponto onde , que é .
Calculamos a segunda derivada para determinar a concavidade:
Avaliar :
Como , temos um ponto de mínimo local em .
Passo 5
Para analisar a concavidade e encontrar pontos de inflexão, observamos onde a segunda derivada muda de sinal.
Resolvemos :
Portanto, existe um ponto de inflexão em .
Analisando os intervalos:
Para , , então : concavidade para baixo.
Para , , então : concavidade para cima.
Passo 6
Com todas as informações anteriores, podemos esboçar o gráfico:
A função é decrescente em e crescente em .
Há um mínimo local em .
A concavidade é para baixo em e para cima em , com ponto de inflexão em .
(d) O gráfico apresenta um mínimo em , é decrescente antes desse ponto e crescente depois, com concavidade mudando em . Próximo a , o comportamento é descentemente influenciado pela concavidade para baixo.