Seja dada por:
(a)Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente.
(b)Encontrar os valores de máximos e mínimos locais.
©Encontre os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
(d)Esboçe o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores. O Ex. 2 © pode ser usado para o comportamento próximo de .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para analisar a função definida para . Vamos precisar de conceitos de derivadas para encontrar onde a função é crescente ou decrescente, identificar máximos e mínimos locais, analisar a concavidade e encontrar pontos de inflexão, e por fim, esboçar o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, para encontrar onde a função é crescente ou decrescente, precisamos calcular a primeira derivada . A derivada nos mostra a taxa de variação da função.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos determinar onde é positiva ou negativa para saber onde a função é crescente ou decrescente.
Como é sempre positivo para , o sinal de depende de :
  • Se (ou seja, ), então : função crescente.
  • Se (ou seja, ), então : função decrescente.
  • Se (ou seja, ), então : ponto crítico.

Passo 4

Para encontrar os valores de máximos e mínimos locais, analisamos o ponto onde , que é .
Calculamos a segunda derivada para determinar a concavidade:
Avaliar :
Como , temos um ponto de mínimo local em .

Passo 5

Para analisar a concavidade e encontrar pontos de inflexão, observamos onde a segunda derivada muda de sinal.
Resolvemos :
Portanto, existe um ponto de inflexão em .
Analisando os intervalos:
  • Para , , então : concavidade para baixo.
  • Para , , então : concavidade para cima.

Passo 6

Com todas as informações anteriores, podemos esboçar o gráfico:
  • A função é decrescente em e crescente em .
  • Há um mínimo local em .
  • A concavidade é para baixo em e para cima em , com ponto de inflexão em .
  • Perto de , o comportamento da função é influenciado pelo item ©.

Resposta

(a) A função é decrescente no intervalo e crescente em .
(b) Há um mínimo local em .
© A concavidade é para baixo em e para cima em . Existe um ponto de inflexão em .
(d) O gráfico apresenta um mínimo em , é decrescente antes desse ponto e crescente depois, com concavidade mudando em . Próximo a , o comportamento é descentemente influenciado pela concavidade para baixo.

Exercícios relacionados

Mostre que
©
Calcule, justificando cada passagem: .
Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
Determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno dado.
c)