Seja
dada por:
(a)Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente.
(b)Encontrar os valores de máximos e mínimos locais.
©Encontre os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
(d)Esboçe o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores. O Ex. 2 © pode ser usado para o comportamento próximo de
.
(b)Encontrar os valores de máximos e mínimos locais.
©Encontre os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
(d)Esboçe o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores. O Ex. 2 © pode ser usado para o comportamento próximo de
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para analisar a função
definida para
. Vamos precisar de conceitos de derivadas para encontrar onde a função é crescente ou decrescente, identificar máximos e mínimos locais, analisar a concavidade e encontrar pontos de inflexão, e por fim, esboçar o gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, para encontrar onde a função é crescente ou decrescente, precisamos calcular a primeira derivada
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos determinar onde
é positiva ou negativa para saber onde a função é crescente ou decrescente.
Como
é sempre positivo para
, o sinal de
depende de
:
- Se
(ou seja, ), então : função crescente. - Se
(ou seja, ), então : função decrescente. - Se
(ou seja, ), então : ponto crítico.
Passo 4
Para encontrar os valores de máximos e mínimos locais, analisamos o ponto onde
, que é
.
Calculamos a segunda derivada
para determinar a concavidade:
Avaliar
:
Como
, temos um ponto de mínimo local em
.
Passo 5
Para analisar a concavidade e encontrar pontos de inflexão, observamos onde a segunda derivada muda de sinal.
Resolvemos
:
Portanto, existe um ponto de inflexão em
.
Analisando os intervalos:
- Para
, , então : concavidade para baixo. - Para
, , então : concavidade para cima.
Passo 6
Com todas as informações anteriores, podemos esboçar o gráfico:
- A função é decrescente em
e crescente em . - Há um mínimo local em
. - A concavidade é para baixo em
e para cima em , com ponto de inflexão em . - Perto de
, o comportamento da função é influenciado pelo item ©.
Resposta
(a) A função é decrescente no intervalo
e crescente em
.
(b) Há um mínimo local em
.
© A concavidade é para baixo em
e para cima em
. Existe um ponto de inflexão em
.
(d) O gráfico apresenta um mínimo em
, é decrescente antes desse ponto e crescente depois, com concavidade mudando em
. Próximo a
, o comportamento é descentemente influenciado pela concavidade para baixo.