Mostre que
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a Transformada de Laplace de é igual a vezes a integral de de 0 até o infinito, onde . A Transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática usada para transformar funções do tempo para o domínio da frequência, e aqui vamos usar umas integrais e propriedades dela para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função é definida por:
Aqui, é uma variável complexa, mas para nosso caso, estamos considerando .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para a função . Assim, temos:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos definir . Então, e, derivando, .

Passo 5

Substituindo e na integral, ficamos com:

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Agora, observamos que no numerador e denominador se cancelam:

Passo 8

Essa integral é conhecida e igual a , mas pelo exercício queremos deixar na forma de integral mesmo.

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Calcule, justificando cada passagem: .
Resolva a equação da onda
sujeita às condições indicadas.
d)
Seja dada por:
(a)Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente.
(b)Encontrar os valores de máximos e mínimos locais.
©Encontre os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
(d)Esboçe o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores. O Ex. 2 © pode ser usado para o comportamento próximo de .
Determine a representação da função por uma integral de Fourier.