Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a Transformada de Laplace de é igual a vezes a integral de de 0 até o infinito, onde . A Transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática usada para transformar funções do tempo para o domínio da frequência, e aqui vamos usar umas integrais e propriedades dela para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função é definida por:
Aqui, é uma variável complexa, mas para nosso caso, estamos considerando .
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para a função . Assim, temos:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos definir . Então, e, derivando, .
Passo 5
Substituindo e na integral, ficamos com:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Agora, observamos que no numerador e denominador se cancelam:
Passo 8
Essa integral é conhecida e igual a , mas pelo exercício queremos deixar na forma de integral mesmo.