Mostre que
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a Transformada de Laplace de
é igual a
vezes a integral de
de 0 até o infinito, onde
. A Transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática usada para transformar funções do tempo para o domínio da frequência, e aqui vamos usar umas integrais e propriedades dela para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função
é definida por:
Aqui,
é uma variável complexa, mas para nosso caso, estamos considerando
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para a função
. Assim, temos:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos definir
. Então,
e, derivando,
.
Passo 5
Substituindo
e
na integral, ficamos com:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Agora, observamos que
no numerador e denominador se cancelam:
Passo 8
Essa integral
é conhecida e igual a
, mas pelo exercício queremos deixar na forma de integral mesmo.
Resposta
Portanto, mostramos que: