Mostre que
Lt^-1 / 2=2raizs integral0^infty e^-x^2 d x, s>0
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a Transformada de Laplace de é igual a vezes a integral de de 0 até o infinito, onde . A Transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática usada para transformar funções do tempo para o domínio da frequência, e aqui vamos usar umas integrais e propriedades dela para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt é definida por:
Aqui, é uma variável complexa, mas para nosso caso, estamos considerando .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para a função Lt^-1/2 = integral0^infty e^-st t^-1/2 , dt . Assim, temos:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos definir . Então, e, derivando, .

Passo 5

Substituindo Lt^-1/2 = integral0^infty e^-x^2 ( x^2s )^-1/2 cdot 2xs , dx e na integral, ficamos com:

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
( x^2s )^-1/2 = ( x^2s )^-1/2 = raizsx
Então, substituindo de volta:
Lt^-1/2 = integral0^infty e^-x^2 cdot raizsx cdot 2xs , dx

Passo 7

Agora, observamos que Lt^-1/2 = 2raizs integral0^infty e^-x^2 , dx no numerador e denominador se cancelam:

Passo 8

Essa integral é conhecida e igual a , mas pelo exercício queremos deixar na forma de integral mesmo.

Resposta

Portanto, mostramos que:
Lt^-1 / 2 = 2raizs integral0^infty e^-x^2 , dx, s>0

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