1. Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique
    a) f(x, y) = e^(x - y^2)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que foi pedido. Precisamos descobrir em quais pontos a função é diferenciável. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial para funções de duas variáveis, focando na existência e continuidade das derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ter todas as derivadas parciais nesse ponto e essas derivadas devem ser contínuas ao redor desse ponto. Então, vamos começar calculando as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade dessas derivadas parciais. A função exponencial é contínua para todos os valores de e . Além disso, os termos que multiplicam a exponencial ( na derivada em relação a e na derivada em relação a ) também são funções contínuas. Portanto, ambas as derivadas parciais são contínuas em todo o plano .

Passo 5

Como as derivadas parciais de existem e são contínuas em todo ponto do plano, podemos concluir que a função é diferenciável em todos os pontos de .

Resposta

A função é diferenciável para todo .

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