- Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique
a)
a)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que foi pedido. Precisamos descobrir em quais pontos a função
é diferenciável. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial para funções de duas variáveis, focando na existência e continuidade das derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ter todas as derivadas parciais nesse ponto e essas derivadas devem ser contínuas ao redor desse ponto. Então, vamos começar calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade dessas derivadas parciais. A função exponencial
é contínua para todos os valores de
e
. Além disso, os termos que multiplicam a exponencial (
na derivada em relação a
e
na derivada em relação a
) também são funções contínuas. Portanto, ambas as derivadas parciais são contínuas em todo o plano
.
Passo 5
Como as derivadas parciais de
existem e são contínuas em todo ponto do plano, podemos concluir que a função
é diferenciável em todos os pontos de
.
Resposta
A função
é diferenciável para todo
.