Calcule lim (x, y) (0,0) f(x, y), caso exista :
f) f(x, y)=x^2 y^4x^4+y^4

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite de uma função que depende de duas variáveis, e , quando ambos se aproximam de zero. A função é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites em várias variáveis e verificar se o resultado é o mesmo quando nos aproximamos de diferentes caminhos rumo ao ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar alguns caminhos simples para ver qual o comportamento da função. Um jeito comum é olhar para o que acontece quando e quando .

Passo 3

Vamos começar com o caminho onde f(x, 0) = x^2 cdot 0^4x^4 + 0^4 = 0x^4 = 0 :
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite da função é .

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece quando f(0, y) = 0^2 cdot y^40^4 + y^4 = 0y^4 = 0 :
Assim, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite também é .

Passo 5

Vamos tentar um caminho mais geral, onde f(x, kx) = x^2 cdot (kx)^4x^4 + (kx)^4 = x^2 cdot k^4x^4x^4 + k^4x^4 = k^4x^6x^4(1 + k^4) = k^4x^21 + k^4 , sendo uma constante:
Quando tende a , também tende a , então o limite desse caminho também é .

Passo 6

Para ter certeza de que o limite é f(r costheta, r sintheta) = (r costheta)^2 cdot (r sintheta)^4(r costheta)^4 + (r sintheta)^4 = r^2 cos^2theta cdot r^4 sin^4thetar^4 (cos^4theta + sin^4theta) = r^6 cos^2theta sin^4thetar^4 (cos^4theta + sin^4theta) = r^2 cos^2theta sin^4thetacos^4theta + sin^4theta independentemente do caminho, vamos usar coordenadas polares. Nesse sistema, e , onde é a distância até e é o ângulo.
Substituindo na função:
Aqui, vemos que à medida que tende a , também tende a . O denominador é sempre positivo e limitado, então o todo tende a .

Resposta

O limite é .

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