Calcule
, caso exista :
f)
f)
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o limite de uma função que depende de duas variáveis,
e
, quando ambos se aproximam de zero. A função é
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites em várias variáveis e verificar se o resultado é o mesmo quando nos aproximamos de diferentes caminhos rumo ao ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar alguns caminhos simples para ver qual o comportamento da função. Um jeito comum é olhar para o que acontece quando
e quando
.
Passo 3
Vamos começar com o caminho onde
:
Então, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite da função é
.
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece quando
:
Assim, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite também é
.
Passo 5
Vamos tentar um caminho mais geral, onde
, sendo
uma constante:
Quando
tende a
,
também tende a
, então o limite desse caminho também é
.
Passo 6
Para ter certeza de que o limite é
independentemente do caminho, vamos usar coordenadas polares. Nesse sistema,
e
, onde
é a distância até
e
é o ângulo.
Substituindo na função:
Aqui, vemos que à medida que
tende a
,
também tende a
. O denominador
é sempre positivo e limitado, então o todo tende a
.
Resposta
O limite é
.