Calcule, justificando sua resposta a seguinte integral:
integral-pi^pi sen(x)x^4+x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral-pi^pi sen(x)x^4+x^2+1 , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integração em um intervalo simétrico em torno de zero. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades das funções ímpares e pares, além de como elas se comportam quando integradas em intervalos simétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as funções no numerador e no denominador. A função é uma função ímpar, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos ver o denominador: . Todos os termos têm potências pares de , então essa função é par, o que significa que .

Passo 4

Quando temos uma função ímpar dividida por uma função par, o resultado é uma função ímpar. Portanto, a função inteira dentro da integral é ímpar.

Passo 5

Sabemos que a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero é sempre zero. Isso porque as áreas positivas e negativas se cancelam.

Passo 6

Aplicando essa propriedade à nossa integral:
integral-pi^pi sen(x)x^4+x^2+1 , dx = 0

Resposta

A integral vale zero.

Exercícios relacionados