Calcule e justifique.
12. lim x 0 x^3+x^23 x^3+x^2+x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Isso está no assunto de Cálculo de Limites, e para resolver, vamos precisar saber como simplificar frações algébricas e identificar comportamentos de funções perto de certos pontos.

Passo 2

Primeiro, a gente tenta substituir limx to 0 0^3 + 0^23 cdot 0^3 + 0^2 + 0 = 0 + 00 + 0 + 0 = 00 diretamente na expressão para ver se dá um resultado imediato:
Aconteceu um problema aqui: a gente obteve uma forma indeterminada . Isso significa que não dá para concluir o limite dessa forma e precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração fatorando tanto o numerador quanto o denominador. No numerador, podemos fatorar um x^3 + x^2 = x^2(x + 1) , e no denominador, um 3x^3 + x^2 + x = x(3x^2 + x + 1) :
Numerador:
Denominador:

Passo 4

Depois de fatorar, a expressão fica assim:
x^2(x + 1)x(3x^2 + x + 1)
Agora, podemos cancelar o x^2(x + 1)x(3x^2 + x + 1) = x(x + 1)3x^2 + x + 1 que está no numerador e no denominador:

Passo 5

Com a fração simplificada, agora conseguimos substituir limx to 0 x(x + 1)3x^2 + x + 1 = 0(0 + 1)3 cdot 0^2 + 0 + 1 = 01 = 0 sem problemas:

Resposta

O limite é igual a 0.

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