ptos
(d) Utilize o Teorema de Green para determinar a área delimitada pela Elipse

Passo 1

Então, temos que calcular a área da elipse definida por . Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região delimitada por essa curva. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, o Teorema de Green nos diz que para uma curva fechada que delimita uma região , a área de pode ser calculada usando a integral de linha:
Aqui, escolhemos e de forma que , o que simplifica o cálculo da área.

Passo 3

Para aplicar isso à nossa elipse, vamos parametrizar a curva . Uma forma comum de parametrizar uma elipse é usando ângulos:
onde varia de a .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas e :
Substituindo esses valores na integral de linha, temos:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
Sabemos que , então:

Resposta

A área delimitada pela elipse é .

Exercícios relacionados

ptos
Determine a integral de linha onde é o círculo com centro na origem e raio 2, por dois métodos diretamente pela definição e utilizando o teorema de green.
Simplifique e .
Usando a Definição de continuidade: uma função é contínua em , se, e somente se duas condições se verificam:
(ii) O Limite da função coincide com o valor da função em ; verifique as seguintes regras: suponha que e são contínuas em , então:
Calcule e justifique.
12.