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(d) Utilize o Teorema de Green para determinar a área delimitada pela Elipse
(d) Utilize o Teorema de Green para determinar a área delimitada pela Elipse
Passo 1
Então, temos que calcular a área da elipse definida por
. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região delimitada por essa curva. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, o Teorema de Green nos diz que para uma curva fechada
que delimita uma região
, a área
de
pode ser calculada usando a integral de linha:
Aqui, escolhemos
e
de forma que
, o que simplifica o cálculo da área.
Passo 3
Para aplicar isso à nossa elipse, vamos parametrizar a curva
. Uma forma comum de parametrizar uma elipse é usando ângulos:
onde
varia de
a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas
e
:
Substituindo esses valores na integral de linha, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral:
Sabemos que
, então:
Resposta
A área delimitada pela elipse
é
.