Usando a Definição de continuidade: uma função é contínua em , se, e somente se duas condições se verificam:
(ii) O Limite da função coincide com o valor da função em ; verifique as seguintes regras: suponha que e são contínuas em , então:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A questão fala sobre a definição de continuidade de uma função em um ponto . Segundo a definição, é contínua em se duas condições são verdadeiras:
  1. O limite de quando se aproxima de existe.
  2. Esse limite é igual ao valor da função em , ou seja, .
Agora, a questão pede para verificar algumas regras, assumindo que duas funções e são contínuas em . Vamos precisar usar as propriedades de limites e de operações com funções contínuas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar uma regra básica sobre limites: se e têm limites quando se aproxima de , então:
  • O limite da soma é a soma dos limites: .
  • O limite do produto é o produto dos limites: .
  • O limite do quociente é o quociente dos limites, desde que : .

Passo 3

Agora, já que e são contínuas em , sabemos que:
e .
Vamos usar essas igualdades nas regras que mencionamos.

Passo 4

Vamos verificar a continuidade das operações básicas:
  1. Soma:
    Portanto, é contínua em .
  2. Produto:
    Assim, é contínua em .
  3. Quociente:
    Desde que , o quociente é contínuo em .

Resposta

As operações de soma, produto e quociente (com ) de funções contínuas e também são contínuas em .

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