Usando a Definição de continuidade: uma função
é contínua em
, se, e somente se duas condições se verificam:
(ii) O Limite da função coincide com o valor da função em
; verifique as seguintes regras: suponha que
e
são contínuas em
, então:
(ii) O Limite da função coincide com o valor da função em
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A questão fala sobre a definição de continuidade de uma função
em um ponto
. Segundo a definição,
é contínua em
se duas condições são verdadeiras:
- O limite de
quando se aproxima de existe. - Esse limite é igual ao valor da função em
, ou seja, .
Agora, a questão pede para verificar algumas regras, assumindo que duas funções
e
são contínuas em
. Vamos precisar usar as propriedades de limites e de operações com funções contínuas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar uma regra básica sobre limites: se
e
têm limites quando
se aproxima de
, então:
- O limite da soma é a soma dos limites:
. - O limite do produto é o produto dos limites:
. - O limite do quociente é o quociente dos limites, desde que
: .
Passo 3
Agora, já que
e
são contínuas em
, sabemos que:
Vamos usar essas igualdades nas regras que mencionamos.
Passo 4
Vamos verificar a continuidade das operações básicas:
-
Soma:Portanto,
é contínua em . -
Produto:Assim,
é contínua em . -
Quociente:Desde que
, o quociente é contínuo em .
Resposta
As operações de soma, produto e quociente (com
) de funções contínuas
e
também são contínuas em
.
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Calcule e justifique.
12.
12.
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8. , onde
é a função anterior
8.