Calcule e justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de para a expressão . Isso envolve o conteúdo de limites em cálculo, e vamos precisar manipular a fração para resolver.

Passo 2

Vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador . Reconhecemos que isso é uma diferença de quadrados:
Então, a expressão original fica:

Passo 4

Agora, podemos simplificar a fração cancelando o termo que está no numerador e no denominador:
Isso simplifica bastante a expressão, deixando apenas .

Passo 5

Finalmente, calculamos o limite substituindo na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a .

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Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções:
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Calcule e justifique.
Mostre que a função é solução da equação diferencial .