Mostre que a função y = x^3 + 9 é solução da equação diferencial y' = 3 x^2.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função e uma equação diferencial . Nosso objetivo é mostrar que essa função é uma solução para essa equação diferencial. Para isso, vamos precisar entender e calcular a derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a . No nosso caso, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função . A derivada de é porque, usando a regra do poder, multiplicamos o expoente pelo coeficiente e diminuímos o expoente em 1. Já a derivada de uma constante, como 9, é 0, pois constantes não mudam.
Então,

Passo 4

Agora que temos a derivada , vamos comparar com a equação diferencial dada no exercício, que também é . Vimos que a derivada da nossa função é exatamente igual à expressão da equação diferencial.

Resposta

Concluímos que a função satisfaz a equação diferencial . Portanto, é realmente uma solução da equação diferencial proposta.

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