Mostre que a função
é solução da equação diferencial
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função
e uma equação diferencial
. Nosso objetivo é mostrar que essa função
é uma solução para essa equação diferencial. Para isso, vamos precisar entender e calcular a derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a
. No nosso caso, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função
. A derivada de
é
porque, usando a regra do poder, multiplicamos o expoente pelo coeficiente e diminuímos o expoente em 1. Já a derivada de uma constante, como 9, é 0, pois constantes não mudam.
Então,
Passo 4
Agora que temos a derivada
, vamos comparar com a equação diferencial dada no exercício, que também é
. Vimos que a derivada da nossa função
é exatamente igual à expressão da equação diferencial.
Resposta
Concluímos que a função
satisfaz a equação diferencial
. Portanto,
é realmente uma solução da equação diferencial proposta.
Exercícios relacionados
Calcule e justifique.
Calcule e justifique.
Determine o aumento real e o aproximado do volume de um tanque cilíndrico quando seu raio da base aumenta de 2 m para 2,15 m e sua altura aumenta de 8 m para
.
Calcule e justifique.