Calcule e justifique.
3. lim x a x^3-a^3x-a

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo de Limites, e para resolver isso, vamos precisar usar a fatoração de polinômios, especificamente a diferença de cubos.

Passo 2

Vamos começar fatorando o numerador x^3 - a^3 = (x - a)(x^2 + ax + a^2) . A diferença de cubos pode ser fatorada da seguinte forma:
x^3-a^3x-a = (x - a)(x^2 + ax + a^2)x - a
Então, substituindo na expressão original, temos:

Passo 3

Agora, percebemos que o termo (x - a)(x^2 + ax + a^2)x - a = x^2 + ax + a^2 está no numerador e no denominador. Como está se aproximando de e não exatamente igual a , podemos cancelar esse termo:

Passo 4

Com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo lim x a (x^2 + ax + a^2) = a^2 + a cdot a + a^2 = 3a^2 por :

Resposta

3a^2

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