Calcule e justifique.
6. lim x a x^4-a^4x-a

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . O conteúdo aqui envolve cálculo de limites e teorema do fator comum. Para resolver, vamos precisar fatorar o numerador e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador . Isso é uma diferença de potências, e sabemos que podemos fatorar usando a fórmula . No nosso caso, .

Passo 3

Aplicando a fórmula, temos:
x^4 - a^4 = (x - a)(x^3 + x^2a + xa^2 + a^3)
Isso significa que podemos reescrever a expressão original do limite como:
limx to a (x - a)(x^3 + x^2a + xa^2 + a^3)x - a

Passo 4

Agora, percebemos que limx to a (x^3 + x^2a + xa^2 + a^3) está tanto no numerador quanto no denominador. Desde que (pois estamos fazendo o limite quando se aproxima de ), podemos cancelar esses termos:

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora basta substituir a^3 + a^3 + a^3 + a^3 = 4a^3 por :

Resposta

O limite é igual a .

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