Calcule e justifique. lim x a x^3-a^3x-a

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Esse tipo de problema está relacionado a polinômios e limites, onde a gente precisa simplificar a expressão para encontrar o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que x^3 - a^3 = (x - a)(x^2 + ax + a^2) é uma diferença de cubos. A diferença de cubos tem uma fórmula especial para fatorar:
Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão que estamos trabalhando.

Passo 3

Agora, vamos substituir a fatoração na nossa expressão original:
x^3 - a^3x - a = (x - a)(x^2 + ax + a^2)x - a
Vemos que está no numerador e no denominador.

Passo 4

Podemos cancelar o termo (x - a)(x^2 + ax + a^2)x - a = x^2 + ax + a^2 no numerador e no denominador, desde que (o que é válido para o limite):

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo limx a (x^2 + ax + a^2) = a^2 + a cdot a + a^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2 por :

Resposta

O limite é .

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