Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma integral tripla:
Isso está relacionado ao cálculo de volumes usando integrais múltiplas, e vamos precisar fazer uma mudança de variável para facilitar a resolução, provavelmente usando coordenadas cilíndricas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. O intervalo para é de -2 a 2, e para de a . Isso descreve um círculo de raio 2 no plano .
A variável varia de até 4. Isso significa que estamos integrando na vertical entre a superfície (um paraboloide) e o plano .

Passo 3

Para simplificar, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume muda para:

Passo 4

Agora, precisamos ajustar os limites de integração:
  • varia de 0 a 2 (raio do círculo).
  • varia de 0 a (uma volta completa).
  • varia de até 4.

Passo 5

Vamos reescrever a integral original em coordenadas cilíndricas:
Aqui, substituímos por e incluímos o fator extra do elemento de volume.

Passo 6

Simplificando a integral:
Vamos integrar em relação a primeiro.

Passo 7

Integrando em relação a :

Passo 8

Agora, distribuimos :
Vamos separar as integrais:

Passo 9

Calculando as integrais em :
Substituindo de volta:

Passo 10

A constante pode ser tirada para fora da integral:
Sabemos que a integral de de 0 a é zero, porque a função é simétrica e positiva em metade do intervalo e negativa na outra.

Resposta

A integral vale 0.

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