Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma integral tripla:
Isso está relacionado ao cálculo de volumes usando integrais múltiplas, e vamos precisar fazer uma mudança de variável para facilitar a resolução, provavelmente usando coordenadas cilíndricas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. O intervalo para
é de -2 a 2, e para
de
a
. Isso descreve um círculo de raio 2 no plano
.
A variável
varia de
até 4. Isso significa que estamos integrando na vertical entre a superfície
(um paraboloide) e o plano
.
Passo 3
Para simplificar, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume muda para:
Passo 4
Agora, precisamos ajustar os limites de integração:
-
varia de 0 a 2 (raio do círculo). -
varia de 0 a (uma volta completa). -
varia de até 4.
Passo 5
Vamos reescrever a integral original em coordenadas cilíndricas:
Aqui, substituímos
por
e incluímos o fator extra
do elemento de volume.
Passo 6
Simplificando a integral:
Vamos integrar em relação a
primeiro.
Passo 7
Integrando em relação a
:
Passo 8
Agora, distribuimos
:
Vamos separar as integrais:
Passo 9
Calculando as integrais em
:
Substituindo de volta:
Passo 10
A constante pode ser tirada para fora da integral:
Sabemos que a integral de
de 0 a
é zero, porque a função é simétrica e positiva em metade do intervalo e negativa na outra.
Resposta
A integral vale 0.
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Calcule e justifique.
Seja
a região delimitada pelos gráficos das funções
e
.
© Calcule a área de , ou seja, calcule a integral em (b).
© Calcule a área de
Verifique se a integral
converge ou diverge? Se convergir, calcule seu valor.
Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área limitada pela parábola
e pela reta
, nos seguintes casos:
a) rotação em torno do eixo ;
a) rotação em torno do eixo