Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(a) integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralx^2+y^2^4 x d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma integral tripla:
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralx^2+y^2^4 x , dz , dy , dx
Isso está relacionado ao cálculo de volumes usando integrais múltiplas, e vamos precisar fazer uma mudança de variável para facilitar a resolução, provavelmente usando coordenadas cilíndricas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. O intervalo para é de -2 a 2, e para de a . Isso descreve um círculo de raio 2 no plano .
A variável varia de até 4. Isso significa que estamos integrando na vertical entre a superfície (um paraboloide) e o plano .

Passo 3

Para simplificar, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o elemento de volume muda para:
dV = r , dz , dr , dtheta

Passo 4

Agora, precisamos ajustar os limites de integração:
  • varia de 0 a 2 (raio do círculo).
  • varia de 0 a (uma volta completa).
  • varia de até 4.

Passo 5

Vamos reescrever a integral original em coordenadas cilíndricas:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2^4 (r costheta) cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, substituímos por e incluímos o fator extra do elemento de volume.

Passo 6

Simplificando a integral:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2^4 r^2 costheta , dz , dr , dtheta
Vamos integrar em relação a primeiro.

Passo 7

Integrando em relação a integral0^2pi integral0^2 r^2 costheta (4 - r^2) , dr , dtheta :

Passo 8

Agora, distribuimos integral0^2pi integral0^2 (4r^2 costheta - r^4 costheta) , dr , dtheta :
integral0^2pi costheta ( integral0^2 4r^2 , dr - integral0^2 r^4 , dr ) dtheta
Vamos separar as integrais:

Passo 9

Calculando as integrais em integral0^2 4r^2 , dr = 4 [ r^33 ]0^2 = 4 ( 83 ) = 323 :
integral0^2 r^4 , dr = [ r^55 ]0^2 = 325
integral0^2pi costheta ( 323 - 325 ) dtheta = integral0^2pi costheta ( 160 - 9615 ) dtheta = integral0^2pi costheta ( 6415 ) dtheta
Substituindo de volta:

Passo 10

A constante pode ser tirada para fora da integral:
6415 integral0^2pi costheta , dtheta
Sabemos que a integral de de 0 a é zero, porque a função é simétrica e positiva em metade do intervalo e negativa na outra.

Resposta

A integral vale 0.

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