Seja
a região delimitada pelos gráficos das funções
e
.
© Calcule a área de
, ou seja, calcule a integral em (b).
© Calcule a área de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a área da região
que está entre os gráficos das funções
e
, no intervalo de
de 0 a 1. Isso envolve usar integrais, que é uma parte da matemática chamada cálculo. A gente vai precisar saber como calcular a integral de uma função e entender como encontrar a área entre duas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir qual das duas funções está por cima da outra no intervalo de 0 a 1. Isso é importante porque, na hora de calcular a área entre elas, subtraímos a função de baixo da de cima.
Vamos avaliar as funções em alguns pontos:
-
Para
: -
-
Para
: -
-
Para
: -
Vemos que no meio do intervalo,
está acima de
.
Passo 3
Agora que sabemos que
está por cima de
no intervalo de 0 a 1, podemos montar a integral que representa a área entre essas duas curvas.
A fórmula para a área
entre duas curvas
e
de
a
é:
Aqui,
e
, e
,
. Então:
Passo 4
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, separamos a integral:
Vamos resolver cada parte:
- Integral de
:
Avaliado de 0 a 1:
- Integral de
:
Avaliado de 0 a 1:
Agora, substituindo de volta na fórmula da área:
Resposta
A área da região
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Nos problemas 4)-8), use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada.
Calcule e justifique.
Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(a)
(a)