Seja a região delimitada pelos gráficos das funções e .
© Calcule a área de , ou seja, calcule a integral em (b).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a área da região que está entre os gráficos das funções e , no intervalo de de 0 a 1. Isso envolve usar integrais, que é uma parte da matemática chamada cálculo. A gente vai precisar saber como calcular a integral de uma função e entender como encontrar a área entre duas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual das duas funções está por cima da outra no intervalo de 0 a 1. Isso é importante porque, na hora de calcular a área entre elas, subtraímos a função de baixo da de cima.
Vamos avaliar as funções em alguns pontos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vemos que no meio do intervalo, está acima de .

Passo 3

Agora que sabemos que está por cima de no intervalo de 0 a 1, podemos montar a integral que representa a área entre essas duas curvas.
A fórmula para a área entre duas curvas e de a é:
Aqui, e , e , . Então:

Passo 4

Vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, separamos a integral:
Vamos resolver cada parte:
  1. Integral de :
Avaliado de 0 a 1:
  1. Integral de :
Avaliado de 0 a 1:
Agora, substituindo de volta na fórmula da área:

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Nos problemas 4)-8), use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada.
Calcule e justifique.
Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(a)