Verifique se a integral
converge ou diverge? Se convergir, calcule seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral que vai de 2 até o infinito de
. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais impróprias. Para resolver, vamos verificar se essa integral converge ou diverge. Se der convergir, a gente também vai calcular o valor dela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral de 2 até infinito. Isso é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Nosso objetivo é ver se essa área sob a curva vai “chegar a um número finito” (converge) ou se cresce sem limite (diverge).
Passo 3
Vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos definir
. Assim, a gente precisa encontrar
:
Passo 4
Substituindo na integral original:
Aqui, os limites mudaram porque quando
,
, e quando
vai para infinito,
também vai para infinito.
Passo 5
Agora, temos uma integral mais simples:
Essa é uma integral do tipo
, onde
.
Passo 6
Sabemos que a integral
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1. Então, a integral converge.
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor da integral:
Passo 8
Avaliar nos limites:
- Quando
vai para infinito, tende a 0. - Quando
:
Então, substituindo:
Resposta
A integral converge e seu valor é
.
Exercícios relacionados
Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(a)
(a)
Calcule e justifique.
Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área limitada pela parábola
e pela reta
, nos seguintes casos:
a) rotação em torno do eixo ;
a) rotação em torno do eixo