Verifique se a integral integral2^infty d xx(ln (x))^3 converge ou diverge? Se convergir, calcule seu valor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral que vai de 2 até o infinito de . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais impróprias. Para resolver, vamos verificar se essa integral converge ou diverge. Se der convergir, a gente também vai calcular o valor dela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral de 2 até infinito. Isso é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Nosso objetivo é ver se essa área sob a curva vai “chegar a um número finito” (converge) ou se cresce sem limite (diverge).

Passo 3

Vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos definir du = 1x , dx Rightarrow dx = x , du . Assim, a gente precisa encontrar :

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral2^infty 1x (ln x)^3 , dx = integralln 2^infty 1u^3 , du
Aqui, os limites mudaram porque quando , , e quando vai para infinito, também vai para infinito.

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples:
integralln 2^infty 1u^3 , du
Essa é uma integral do tipo , onde .

Passo 6

Sabemos que a integral converge se e diverge se . No nosso caso, , que é maior que 1. Então, a integral converge.

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor da integral:
integralln 2^infty 1u^3 , du = [ -12u^2 ]ln 2^infty

Passo 8

Avaliar nos limites:
  • Quando -12 (ln 2)^2 vai para infinito, 0 - (-12 (ln 2)^2) = 12 (ln 2)^2 tende a 0.
  • Quando :
Então, substituindo:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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