Nos problemas 4)-8), use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a seguinte equação integral:
Esse tipo de problema é uma equação integral e vamos resolver usando a Transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como ela lida com integrais e convoluções.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma função
é denotada por
.
Aplicando a Transformada de Laplace, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada Transformada de Laplace separadamente:
-
Transformada de 1:
-
Transformada de t:
-
Transformada da integral:A integral
é uma convolução entre e . Pela propriedade de convolução da Transformada de Laplace: Sabemos que:Então,
Passo 4
Substituindo todas as partes na equação transformada:
Simplificando o termo com
:
Passo 5
Vamos isolar
:
Fatorando
:
Resolvendo para
:
Multiplicando numerador e denominador por
para simplificar:
Passo 6
Vamos fatorar o denominador
:
Então,
Passo 7
Agora, vamos fazer uma fração parcial para separar os termos:
Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
:
Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes dos mesmos poderes de
:
-
: -
: -
: - Constante:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações:
Da equação 3:
Da equação 1 e sabendo que
:
Então,
.
Da equação 4:
Da equação 2 e sabendo que
:
Então,
.
Passo 9
Agora, substituindo os valores encontrados na fração parcial:
Podemos simplificar isso como:
Passo 10
Agora, vamos realizar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
.
Sabemos que:
- Para
, a Transformada Inversa é . - Para
, a Transformada Inversa é . - Para
, a Transformada Inversa é . - Para
, a Transformada Inversa é .
Aplicando isso aos termos de
:
Substituindo:
Resposta
A solução da equação é: