Nos problemas 4)-8), use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada.
8) f(t)=1+t+272 integral0^t f(tau)(t-tau)^3 d tau

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a seguinte equação integral:
f(t) = 1 + t + 272 integral0^t f(tau)(t - tau)^3 dtau
Esse tipo de problema é uma equação integral e vamos resolver usando a Transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como ela lida com integrais e convoluções.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma função f(t) é denotada por F(s).
Aplicando a Transformada de Laplace, temos:
Lf(t) = L1 + Lt + 272 L integral0^t f(tau)(t - tau)^3 dtau

Passo 3

Agora, vamos calcular cada Transformada de Laplace separadamente:
  1. Transformada de 1:
    L1 = 1s
  2. Transformada de t:
    Lt = 1s^2
  3. Transformada da integral:
    A integral integral0^t f(tau)(t - tau)^3 dtau é uma convolução entre f(t) e (t)^3. Pela propriedade de convolução da Transformada de Laplace:
    L integral0^t f(tau)(t - tau)^3 dtau = F(s) cdot Lt^3
    Sabemos que:
    Lt^3 = 6s^4
    Então,
    L integral0^t f(tau)(t - tau)^3 dtau = F(s) cdot 6s^4

Passo 4

Substituindo todas as partes na equação transformada:
F(s) = 1s + 1s^2 + 272 cdot 6s^4 F(s)
Simplificando o termo com F(s):
F(s) = 1s + 1s^2 + 81s^4 F(s)

Passo 5

Vamos isolar F(s):
F(s) - 81s^4 F(s) = 1s + 1s^2
Fatorando F(s):
F(s) (1 - 81s^4) = 1s + 1s^2
Resolvendo para F(s):
F(s) = 1s + 1s^21 - 81s^4 = s + 1s^2(1 - 81s^4)
Multiplicando numerador e denominador por s^4 para simplificar:
F(s) = (s + 1)s^2s^4 - 81 = s^3 + s^2s^4 - 81

Passo 6

Vamos fatorar o denominador s^4 - 81:
s^4 - 81 = (s^2)^2 - 9^2 = (s^2 - 9)(s^2 + 9)
Então,
F(s) = s^3 + s^2(s^2 - 9)(s^2 + 9)

Passo 7

Agora, vamos fazer uma fração parcial para separar os termos:
Assumimos que:
s^3 + s^2(s^2 - 9)(s^2 + 9) = A s + Bs^2 - 9 + C s + Ds^2 + 9
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum (s^2 - 9)(s^2 + 9):
s^3 + s^2 = (A s + B)(s^2 + 9) + (C s + D)(s^2 - 9)
Expandindo:
s^3 + s^2 = A s^3 + 9 A s + B s^2 + 9 B + C s^3 - 9 C s + D s^2 - 9 D
Agrupando os termos semelhantes:
s^3 + s^2 = (A + C)s^3 + (B + D)s^2 + (9 A - 9 C)s + (9 B - 9 D)
Igualando os coeficientes dos mesmos poderes de s:
  1. s^3: 1 = A + C
  2. s^2: 1 = B + D
  3. s^1: 0 = 9 A - 9 C
  4. Constante: 0 = 9 B - 9 D

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
Da equação 3:
9 A - 9 C = 0 Rightarrow A = C
Da equação 1 e sabendo que A = C:
1 = A + A Rightarrow 2A = 1 Rightarrow A = 12
Então, C = 12.
Da equação 4:
9 B - 9 D = 0 Rightarrow B = D
Da equação 2 e sabendo que B = D:
1 = B + B Rightarrow 2B = 1 Rightarrow B = 12
Então, D = 12.

Passo 9

Agora, substituindo os valores encontrados na fração parcial:
F(s) = 12 s + 12s^2 - 9 + 12 s + 12s^2 + 9
Podemos simplificar isso como:
F(s) = 12 ( s + 1s^2 - 9 + s + 1s^2 + 9 )

Passo 10

Agora, vamos realizar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar f(t).
Sabemos que:
  1. Para ss^2 - a^2, a Transformada Inversa é cosh(a t).
  2. Para 1s^2 - a^2, a Transformada Inversa é 12 a sinh(a t).
  3. Para ss^2 + a^2, a Transformada Inversa é cos(a t).
  4. Para 1s^2 + a^2, a Transformada Inversa é 1a sin(a t).
Aplicando isso aos termos de F(s):
f(t) = 12 [ L^-1 ss^2 - 9 + L^-1 1s^2 - 9 + L^-1 ss^2 + 9 + L^-1 1s^2 + 9 ]
Substituindo:
f(t) = 12 [ cosh(3t) + 16 sinh(3t) + cos(3t) + 13 sin(3t) ]

Resposta

A solução da equação é:
f(t) = 12 cosh(3t) + 112 sinh(3t) + 12 cos(3t) + 16 sin(3t)

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