Calcule e justifique.

Passo 1

Então, temos o seguinte problema: calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Esse exercício faz parte do estudo de limites em Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão . Observamos que o numerador é uma diferença de potências, especificamente a diferença de quaternas.

Passo 3

Sabemos que a diferença de potências pode ser fatorada. A fórmula geral para fatorar é:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Substituindo isso na expressão original, temos:
Aqui, podemos simplificar no numerador e no denominador, desde que .

Passo 5

Após simplificar, a expressão fica:
Agora, para encontrar o limite quando se aproxima de , basta substituir por na expressão simplificada.

Passo 6

Substituindo :

Resposta

O limite é .

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(d)