Calcule e justifique. lim x a x^4-a^4x-a

Passo 1

Então, temos o seguinte problema: calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Esse exercício faz parte do estudo de limites em Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão . Observamos que o numerador é uma diferença de potências, especificamente a diferença de quaternas.

Passo 3

Sabemos que a diferença de potências pode ser fatorada. A fórmula geral para fatorar x^n - a^n = (x - a)(x^n-1 + x^n-2a + x^n-3a^2 + dots + a^n-1) é:
x^4 - a^4 = (x - a)(x^3 + x^2a + x a^2 + a^3)
No nosso caso, , então:

Passo 4

Substituindo isso na expressão original, temos:
x^4-a^4x-a = (x - a)(x^3 + x^2a + x a^2 + a^3)x - a
Aqui, podemos simplificar no numerador e no denominador, desde que .

Passo 5

Após simplificar, a expressão fica:
x^3 + x^2a + x a^2 + a^3
Agora, para encontrar o limite quando se aproxima de , basta substituir por na expressão simplificada.

Passo 6

Substituindo a^3 + a^2a + a a^2 + a^3 = a^3 + a^3 + a^3 + a^3 = 4a^3 :

Resposta

O limite é .

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