Calcule as seguintes integrais:
(d) integral0^4 integral0^pi integral0^1-x x^2 sen(y) d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla . Isso está dentro do tema de integrais múltiplas, especificamente integração iterada. Vamos precisar entender como integrar uma função envolvendo várias variáveis uma de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a integral0^1-x x^2 sin(y) , dz = x^2 sin(y) cdot (1 - x - 0) = x^2 sin(y) (1 - x) . Nessa parte, é considerado uma constante porque estamos integrando em relação a . A integral de uma constante com respeito a de a é simplesmente . Então:

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado com respeito a integral0^4 x^2 sin(y) (1 - x) , dx , de x^2 (1 - x) = x^2 - x^3 a integral0^4 (x^2 - x^3) sin(y) , dx = sin(y) ( integral0^4 x^2 , dx - integral0^4 x^3 , dx ) . A expressão fica:
integral0^4 x^2 , dx = [ x^33 ]0^4 = 643
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
integral0^4 x^3 , dx = [ x^44 ]0^4 = 2564 = 64
Então, a integral se torna:
sin(y) ( 643 - 64 ) = sin(y) ( 643 - 1923 ) = sin(y) ( -1283 ) = -1283 sin(y)
Vamos calcular cada parte:
Substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão com respeito a integral0^pi -1283 sin(y) , dy = -1283 integral0^pi sin(y) , dy , de -1283 [ -cos(y) ]0^pi = -1283 ( -cos(pi) + cos(0) ) a -1283 ( -(-1) + 1 ) = -1283 (1 + 1) = -1283 cdot 2 = -2563 :
A integral de é , então:
Sabemos que e , então:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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